Asymptotes ⚠️ Funcții Grafică: Cum să găsiți înclinate, orizontale și verticale, exemple

Ce este asymptota - concept și definiție

Definiție

Funcția grafică asimptota y = f (x) Este o linie dreaptă L, cât mai aproape posibil de graficul funcției, punctul de care tinde la infinit, adică este eliminat nelimitat de la începutul coordonatelor curbei. Distanța dintre această funcție de punct y = f (x) și asympttota l se străduiește pentru zero.

Figura arată exemple de asimptote de grafice de funcții.

"Totul a trecut!" - asistență pentru servicii online pentru studenți
Sursa: pnu.edu.ru.

Figura de mai jos prezintă o curbă care se apropie de asimptoting și rămâne pe de o parte în raport cu aceasta.

Figura din dreapta prezintă curba (graficul funcției), care oprește infinitul asimptote de multe ori din diferite părți.

Asymptotes of Graphics Function, tipuri principale

Asymptotes sunt împărțite în trei tipuri: Vertical , Înclinat и Orizontală .

În diferite funcții, pot exista cantități diferite de asimptote:

  1. Parabola și sinusoidul nu au asimptote.
  2. Funcțiile exponențiale și logaritmice au 1 asimptot.
  3. Arcthangence și arkotance - două.
  4. Tangentul și Kotangenes sunt o sumă infinită.
  5. Hiperbolul are asimptote orizontale și verticale.

Să dăm un exemplu de a fi asimptote ale hiperbolelor.

Definiție

Hiperbolă - Locația geometrică a punctelor, din care valoarea absolută a diferenței de distanțe până la două puncte (punctele specificate) este constantă și mai mică decât distanța dintre focalizarea ei înșiși.

Definiție

Asimptote de hiperbele - drept, care sunt aluat legate de acesta și sunt determinate de ecuații \ (Y = \ frac bax \)  и \ (- y = \ frac bax \) .

Pentru \ (x \ dreaptaarrow + \ infty \) Diferența dintre asimptotele și hiperbolul ordonate va fi \ (\ Delta \ dreaptaRrow0 \) .

Într-adevăr, deoarece:

\ (\ Delta = \ sqrt {x ^ 2-A ^ 2} = \ Frac BA (x- \ sqrt {x ^ 2-A ^ 2)} = \ Frac BA \ CDOT \ FRAC {x ^ 2-x ^ 2 + a ^ 2} {x + \ sqrt {x ^ 2-a ^ 2}} = \ frac ba \ cdot \ frac {a ^ 2} {x + \ sqrt {x ^ 2 -A ^ 2}} \)

\ (\ Delta \ dreaptaRrow \ infty \; cu \; x \ dreaptarrow + \ infty \)

Prin urmare, dacă Abscissa X crește pe o perioadă nedeterminată, diagrama hiperbolelor și asimptotes sunt nelimitate.

Aranjamentul de asimptote de hiperbles corespunde diagonalelor dreptunghiului, ale căror părți sunt paralele cu axa Oh și axa OSA, iar centrul este începutul coordonatelor.

În hiperbolă echilaterală având o vedere \ (x ^ 2-y ^ 2 = a ^ 2 \) cand \ (B = a \) , asimptote vor avea coeficienți unghiulari \ (k = \ pm \ frac ba \) egal \ (\ pm1 \) . Proprietatea acestor asimptote este perpendicularitatea reciprocă. De asemenea, împărțeau colțurile dintre axele de simetrie a hiperbolelor.

Exemplu

Este necesar să se facă ecuația hiperbolului dacă următoarele ecuații specifică asimptote:

\ (Y = \ pm \ frac {\ sqrt6} 3x \)

Hiperbolul trece prin punctul M (6; -4).

Decizie

Aplicați formula \ (Y = \ frac bax \) si ia:

\ (\ Frac ba = \ pm \ frac {\ sqrt6} 3 \)

Înlocuim coordonatele punctului M în formula generală a ecuației hiperbolice:

\ (\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \)

Obținem un sistem de ecuații. Pentru a obține ecuația acestei hiperbole, este necesar să se calculeze sistemul rezultat al ecuațiilor.

\ (\ stânga \ {\ incep {array} {l} \ frac {6 ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {{(- 4)} ^ 2} {b ^ 2} = 1, \\\ Frac BA = \ pm \ frac {\ sqrt6} 3 \ end {array} \ dreapta. \ Dreaptarrow a = \ pm \ sqrt {12}, \; b = \ sqrt8 \)

Ca rezultat, primim:

\ (\ Frac {x ^ 2} {12} - \ frac {y ^ 2} 8 = 1 \)

Asimptote verticale

Dacă cel puțin una dintre limite \ (\ lim_ {x \ dreaptarrow c-0} f (x) \) sau \ (\ lim_ {x \ dreapta C + 0} F (x) \) Este egal cu + ∞ sau -∞, apoi asimptotumul vertical al funcției funcției y = f (x) va fi drept x = s.

O altă definiție implică faptul că dacă definiția asympotes X0 este un număr finit, atunci o astfel de asimptota este verticală. În același timp, la punct, limita stângă sau dreaptă (sau ambele) este egală cu + ∞ sau -∞.

Exemple de asimptote verticale:

Exemplul 1.

Este necesar să se determine asimptotipul vertical al funcției \ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infty} a (x) = 0. \)

Decizie

pentru că

\ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow0 + 0} (4+ \ frac1x) = + \ infaty \)

\ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow0-0} (4+ \ frac1x) = - \ infat \)

Că x = 0 este o asimptota verticală.

Exemplul 2.

Avea \ (y = 2 ^ {1 / x} \) .

Axa ordonată este asimptota verticală, deoarece

\ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow0-0} 2 ^ {1 / x} = 0 \)

\ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow0 + 0} 2 ^ {1 / x} = \ infty \)

Înclinat asymptotes.

Dacă definiția asimptotelor este prezentă + ∞ sau -∞, atunci se referă fie la orizontală, fie la înclinată.

Funcția grafică asymptota y = f (x) este înclinată dacă această funcție poate fi reprezentată ca f (x) = kx + b + A (x). Starea trebuie efectuată: \ (A (x) \ dreaptaRrow0 \) cand \ \ (x \ dreaptaarrow + \ infty \) . Direct va fi vizualizat y = kx + b.

Straight y = kx + b va fi înclinat asymptota \ (x \ dreaptaarrow + \ infty \) и \ (X \ dreaptaarrow- \ infat \) Dacă există limite:

\ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infat} \ frac {f (x)} x = k \)

\ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infty} \ stânga [f (x) -kx \ dreapta] = b \)

Dacă K = 0, atunci asymptota înclinată se transformă într-una orizontală.

Aplicarea regulii lopitale

Regula lopitală este utilizată atunci când limitele nu sunt definite, de exemplu, 0/0 sau ∞ / ∞:

\ (\ lim_ {x \ dreapta a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ stânga \ {\ frac00 \ dreapta \} \) sau \ (\ lim_ {x \ dreapta a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ stânga \ {\ frac \ infat \ infty \ dreapta \} \)

Dacă funcțiile pot fi diferențiate și aparțin împrejurimilor punctului X = A, atunci asimptotele înclinate trebuie semnate prin formula:

\ (\ lim_ {x \ dreapta a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ limi_ {x \ dreapta a} {frac {f '(x)} {g' (x)} { )

Derivatul poate fi utilizat în mod repetat pentru a obține o constantă într-un numitor sau numitor.

Exemplul 1.

Există o funcție:

\ (Y = x + \ frac1x \)

\ (K = \ lim_ {x \ dreaptaRrow \ infty} \ frac yx = \ lim_ {x \ dreaptaRrow \ infty} \ frac {x + {\ displaystyle \ frac1x}} x = \ lim_ {x \ dreaptaRrow \ infty} ( 1 + \ frac1 {x ^ 2}) = 1 \)

\ (B = \ lim_ {x \ dreaptaRrow \ infty} (y-kx) = \ lim_ {x \ dreaptaRrow \ infty} (x + \ frac1x-x) = \ lim_ {x \ dreaptaRrow \ infty} \ frac1x = 0 \)

Direct y = x - înclinat grafic asymptota al acestei funcții.

Exemplul 2.

Există o funcție \ (y = \ frac {\ stânga | x \ dreapta | (x-1)} {x + 1}. \)

Luați în considerare două opțiuni:

x> 0 și x <0.

Dacă x> 0, atunci

\ (K_1 = \ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infaty} \ frac yx = \ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infty} \ frac {\ stânga | x \ dreapta | (x - 1)} {x (x + 1 )} = \ Lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infty} \ frac {x (x-1)} {x (x + 1)} = 1 \)

\ (B_1 = \ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infty} (y-k_1x) = \ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infty} \ stânga (\ frac {stânga | x \ dreapta | (x - 1)} { x (x + 1)} - x \ dreapta) = \ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infty} \ frac {x (x - 1) -x (x + 1)} {x + 1} = 2 \)

Adică, ramura dreaptă a curbei are asimptote înclinate sub forma unei linii drepte Y = X-2.

Dacă x <0, atunci

\ (K_2 = \ limi_ {x \ dreaptaRrow- \ infaty} \ frac yx = \ lim_ {x \ dreaptaRrow- \ infaty} \ frac {\ stânga | x \ dreapta | (x - 1)} {x (x + 1 )} = \ Lim_ {x \ dreaptaRrow- \ infat} \ frac {(- x) (x - 1)} {x (x + 1)} = - 1 \)

\ (b_2 = \ limi_ {x \ dreaptaRrow- \ infat} (y-k_2x) = \ lim_ {x \ dreaptaRrow- \} \ stânga (\ frac {stânga | x \ dreapta | (x-1)} { X + 1} + x \ dreapta) = \ lim_ {x \ dreaptaRrow- \ infaty} \ frac {(x) (x) (x - 1) + x (x + 1)} {x + 1} = 2 \)

Adică, ramura stângă a curbei are asimptote înclinate sub forma unei linii drepte Y = -X + 2.

Asimptote orizontale

Straight y = b este o asimptota orizontală pentru graficul funcției y = f (x) dacă

\ (\ lim_ {x \ dreaptarrow + \ infty} f (x) = \ lim_ {x \ dreaptaRrow- \ infty} f (x) = b \)

Pentru \ (x \ dreaptaarrow + \ infty \) sau pentru \ (X \ dreaptaarrow- \ infat \) Când numai una dintre limitele de mai sus este egală cu numărul B, drept y = b devine o asimptota orizontală, nu întreaga curbă, ci partea corespunzătoare.

Exemplul 1.

Există o funcție: \ (Y = 4 + \ frac1x. \)

\ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infaty} \ stânga (4+ \ frac1x \ dreapta) = \ lim_ {x \ dreaptaRrow- \ infaty} \ stânga (4+ \ frac1x \ dreapta) = 4 \)

Prin urmare, y = 4 este asimptota orizontală a acestei funcții.

Exemplul 2.

Disponibil \ (y = 2 ^ {1 / x} \) .

Aici \ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infat} 2 ^ {1 / x} = {1 / x} = {x \ dreaptaRrow- \} 2 ^ {1 / x} = 1 \) .

Deci, y = 1 - grafică grafică asimptota orizontală.

Exemplul 3.

Disponibil \ (y = 2 ^ {x}. \)

pentru că

\ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow + \ infty} = 2 ^ {- x} = 0 \)

\ (\ lim_ {x \ dreaptaRrow-}} = 2 ^ {- x} = + \ infty \)

apoi y = 0 - funcția grafică asimptota orizontală când \ (x \ dreaptaarrow + \ infty \) .

Asympote Graph Graphics.

Adesea, sarcina de a găsi asimptot a funcției este în cursul analizei matematice, în special atunci când rezolvă problemele asupra subiectului de cercetare. Pentru a răspunde cu succes la întrebarea: Cum să găsiți funcția Asymptotes? Este necesar să fiți capabili să calculați limitele, să înțelegem ceea ce își imaginează, să cunoască metodele de bază de rezolvare a limitelor. Dacă toate acestea puteți la un nivel adecvat, atunci nu veți găsi asimptote pentru dvs. Deci, ce este Asymptota? Asymptotta este o linie la care ramura graficului funcției se apropie infinit. Pentru a fi clar, uitați-vă la imaginile prezentate mai jos.

Asimptotes.

Vă rugăm să rețineți că nu există niciun contact între asimptote și diagrame și nu ar trebui să fie. Asymptota se apropie infinit de graficul funcției. Să ne uităm la ce tipuri de caracteristici asimptote și cum să le găsim, dar ultimul va fi spus în continuare.

Cum să găsiți funcții asimptote

Din tabel, aflați că asimptotele funcției sunt trei specii: verticale, orizontale, înclinate. Toată lumea găsește asimptotipul funcției este necesară în felul său. Acest lucru necesită limite. Cât de mult este asimptotul funcției? Răspuns: Nu unul, unul, doi, trei ... și infinit foarte mult. Fiecare funcție este diferită.

Asimptote verticale

Pentru a găsi acest tip de asimptot, este necesar să găsiți zona de definire a funcției specificate și să marcați punctul de decalaj. În aceste puncte, limita de funcții va fi egală cu infinitatea, ceea ce înseamnă că funcția din acest moment se apropie infinit de linia asimptote.

Asimptote orizontale

Este necesar să se străduiască argumentul limită al funcției la infinit. Dacă limita există și este egală cu numărul, asimptota orizontală va fi găsită și este egală cu $ y = y_0 $ așa cum se arată în cea de-a doua coloană a tabelului

Înclinat asymptotes.

Asymptota înclinată este reprezentată sub formă de $ y = kx + b $. Unde $ k $ este un raport de înclinare a asimptotes. Mai întâi există un coeficient de $ K $, apoi $ B $. Dacă oricare dintre ele este egală cu $ \ \ \ \ \ \ \ Și dacă $ B = 0 $, primim asimptote orizontale. Deci, pentru a economisi timp, este mai bine să găsiți imediat asimptottul înclinat, iar orizontul se va manifesta în cazul existenței sale.

Exemple de soluții

Exemplul 1.
Găsiți toate funcțiile grafice Asymptotes $$ F (x) = \ frac {5x} {3x + 2} $$
Decizie

Pentru a începe soluția, vom găsi asimptote verticale, dar mai întâi găsiți domeniul de determinare a funcției $ F (x) $. Prin definiție, numitorul nu ar trebui să fie zero. Prin urmare, avem $ 3x + 2 \ neq 0; 3x \ neq -2; X \ neq - \ frac {2} {3} $. A primit punctul de pauză de $ x = - \ frac {2} {3} $. Calculăm limita funcției în ea și asigurați-vă că asimptotetul vertical este $ x = - \ frac {2} {3} $.

$$ \ Lim \ limite _ {{x \ dreapta - \ frac}} {3}} \ frac {5x} {3x + 2} = (- \ frac {10} {\ Infty}) = - \ \ $ $.

Acum găsim asimptote orizontale, dar mai întâi calculați coeficienții de $ K $ și $ B $.

$$ k = \ Lim \ Limits_ {x \ shatarrow {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} = \ Lim \ Limits_ {x \ RanceRrow \ Infty} {x \ #} {3x + 2} = \ Frac {5} {\}} = 0 $$

Din moment ce $ k = $ 0, înțelegem deja ce nu sunt înclinate asymptotes, dar există orizontal. Vom găsi coeficientul de $ B $.

$$ B = \ LIM \ Limits_ {x \ dreaptaRrow \ {x \ Limits_ {x \ dreaptaRw \ {x \ dreaptaRw \ {x \ dreapta \} {3x + 2} = \ frac {\ Infaty} {\ infaty} = \ frac {5} {3} $$

Înlocuim fabricile găsite în formula $ y = kx + b $, obținem că $ y = \ frac {5} {3} $ este o asimptota orizontală.

Dacă este imposibil să vă rezolvați sarcina, apoi să ne trimiteți-o. Vom oferi o decizie detaliată. Vă puteți familiariza cu cursul de calcul și învățați informații. Acest lucru vă va ajuta în timp util la profesor!

Răspuns
$$ y = \ frac {5} {3} $$
Exemplul 2.
Găsiți toate funcțiile grafice Asymptotes $ f (x) = \ frac {1} {1-x} $
Decizie

Găsiți zona de definiție a acestui exemplu pentru a determina asimptote verticale. $ 1-x \ neq 0; X \ neq 1; $. Punctul Gap este $ x = 1 $, ceea ce înseamnă că este asimptota verticală. Considerăm că dovedesc presupunerea limitei în acest moment. $$ \ Lim \ limits_ {x \ dreapta 1} \ frac {1} {1-x} = \ frac {1} {0} = \ Infty $$

Vom continua să găsim asimptot înclinat.

$$ k = \ Lim \ Limits_ {x \ dreapta {x} {x} {x} {x} {x} = \ Limi \ Limits_ {x \ Rubarrow \ {x (1-X) } = \ Frac {1} {\ infat} = 0 $$

$$ B = \ LIM \ Limits_ {x \ dreaptaRrow \ Infty} [F (x) -kx] = \ Lim \ Limits_ {x \ dreaptaRrow \ Infty} \ frac {1} {1-x} = \ frac {1 } {\ infty} = 0 $$

Total $ y = 0 $ - asimptota orizontală.

Răspuns
$$ y = 0 $$
Exemplul 3.
Găsiți toate asymptotes of Graphics Function $ F (x) = \ frac {x ^ 3} {3x ^ 2 + 5} $
Decizie

Observăm că numitorul nu se întoarce la zero la nicio valoare a ICA. Și acest lucru înseamnă că nu există puncte de discontinuitate și, prin urmare, nu există asimptote verticale. Rămâne să găsești asimptote orizontale.

$$ K = \ Lim \} {x \ »{x} {x} {x} {x} \ Lim {x} {x} {x} {x} {x} {x \ Lim {x} {x} {x} {x {x} {x} = \ Lim \ Limits_ {x \ SRL 5} = \ Lim \ Limits_ {x \ dreapta \ infty} \ frac {2x} {6x} = \ frac {1} {3} $$

Deoarece numărul $ K $ finit, nu egal cu $ 0 $ sau infinit, atunci există o asimptota înclinată. Calculăm numărul lipsă $ B $.

$$ B = \ LIM \ Limits_ {x \ Rubarrow \ Infty} [F (x) -KX] = \ Lim \ Limits_ {x \ dreaptaRrow \ Infty} [\ frac {x ^ 3} {3x ^ 2 + 5} - \ frac {x} {3}] = \ Lim \ limits_ {x \ dreaptaRrow \ infty} - \ frac {5x} {3 (3x ^ 2 + 5)} = $$$$ = - \ frac {5} {3} \ Lim \ Limits_ {x \ dreapta {x} {3x ^ 2 + 5} {3x ^ 2 + 5} = - \ frac {5} {3} \ Lim \ Limits_ {x \ dreaptaRrow \ Infty} \ frac { 1} {6x} = - \ frac {5} {3} \ frac {1} {\ Infty} = 0 $$

$ Y = \ frac {1} {3} x $ - înclinat asimptote la funcția cu un unghi de înclinare de o treime.

Răspuns
$$ y = \ frac {1} {3} x $$
Exemplul 4.
Găsiți asimptote $ f (x) = xe ^ {- x} $
Decizie

Nu există puncte de ruptură, ceea ce înseamnă că nu există asimptot vertical.

$$ k = \ Lim \ Limits_ {x \ dreapta \} {e} {{\ \ frac {1} {\}} = 0 $$

$$ B = \ Lim \ {x} = \ Lim {e ^ x} = \ Lim \ Limits_ {X \ RaceRrow \ Infty} \ Frac {1} {E ^ x} = \ frac {1} {\ Infty} = 0 $$

$ Y = 0 $ - asimptota orizontală

Răspuns
$$ y = 0 $$

Dacă funcțiile elementare sunt date în sarcini, se știe în prealabil cât de mult este asimptotes. De exemplu, parabola, parabola cubică, sinusoidele nu există sinusoiduri. Graficele de funcții, cum ar fi logaritmice sau exponențiale, este una. Și funcțiile lui Tangent și Kotangen sunt nenumărate asimptote, dar Artananens și Arkkatance au două bucăți.

În toate exemplele, limitele au fost calculate folosind regula lopitală, care accelerează foarte mult procesul de calcul și creează mai puține erori.

În articolul anterior, definițiile asimptotelor înclinate, verticale, orizontale sunt induse. Acum vor fi prezentate exemple de localizare a asimptotelor folosind regula lopitală. Este convenabil să se aplice când limitele cu incertitudinea tip zero pe zero sau infinit la infinit , adică atunci când există limite ale formularului

sau

Apoi, în conformitate cu regula Lopital, valoarea sa este egală

Dacă funcțiile sunt diferitecycle și sunt definite în vecinătatea punctului . Derivatul poate fi aplicat din nou până când vom obține o constantă într-un numitor sau un numitor sau o fracțiune va scăpa de caracteristici.

------------------------------------

Exemple.

Găsiți funcții asimptote

І.

Decizie:

Danicul fracției nu ar trebui să se transforme în zero

Zona de definiție va fi împărțită în două intervale.

Punctul care sparge zona de definiție va fi asimptota verticală . Găsim asimptote înclinate în funcție de formula

Primul necunoscut va găsi din limită

În al doilea rând determinat prin regulă

Ecuația finală a asimptotelor oblice următoarele

Funcția asimptota este afișată în program

------------------------------------------

І.

Decizie:

Funcția este definită în toate punctele, cu excepția celor în care denominatorul este zero. Găsiți soluții de ecuație pătrată

Ambele rădăcini sparge zona de definiție pentru trei intervale

Și, de asemenea, asimptote verticale ale funcției. Înclinat asimptote găsim cu utilizarea regulii lopitale

La calcularea constantelor Inclus în ecuația liniei a trebuit să aplice regula lopitală de trei ori pentru prima și de două ori pentru al doilea necunoscut. A obținut în cele din urmă următoarea ecuație a asimptotelor înclinate

Graficul funcțiilor este prezentat mai jos

----------------------------------------

III.

Decizie:

Cu forma funcției rezultă că este determinată în toate punctele în care sunt definite rădăcinile

Obținerea de ambele intervale primim zona de definiție

Punct Este o funcție asimptota verticală. Calculăm coeficienții incluși în ecuația asimptote înclinată. Aplicarea regulii lopitale acestui exemplu nu va fi, prin urmare, simplificări

Simplificăm expresia în numărător

și înlocuiți granița

Ecuația asimptotelor înclinate va lua forma

Graficul funcției specificate cu asimptota înclinată este următorul

----------------------------------------

Deciziile au fost familiarizate parțial cu posibile exemple care ar putea fi în practică. Pentru o mai bună posesie a acestui subiect, rezolvați-vă sarcinile, studiați metodele convenabile de găsire a limitelor funcției care vor face rezultatele mai rapide.

--------------------------------------

Vedeți materiale:

Asympote Graph Graphics.

Ghost Asymptotes au rătăcit mult timp prin intermediul site-ului, astfel încât în ​​cele din urmă să se materializeze într-un articol separat și să conducă la o încântare specială de cititori nedumeriți Studiul complet al funcției . Găsirea asimptotelor de grafică - una dintre puținele părți ale sarcinii specificate, care este iluminată în cursul școlii numai într-o ordine relativă, deoarece evenimentele se rotesc în jurul calculului Limitele funcțiilor Și sunt încă la cea mai înaltă matematică. Vizitatorii care sunt slab dezasamblați în analiza matematică, un indiciu, cred, este de înțeles ;-) ... opriți-Opriți, unde sunteți? Limite - Este ușor!

Exemple de asimptot s-au întâlnit imediat la prima lecție despre Graficele funcțiilor elementare Și acum subiectul primește o considerație detaliată.

Deci, ce este Asymptota?

Imagina Punct variabil care "acționează" în funcție de grafica funcției. Asymptota este Drept , la WHCIH. aproape nelimitat Graficul funcției se apropie la îndepărtarea punctului variabil la infinit.

Notă : Definirea este semnificativă dacă aveți nevoie de formularea în simbolurile analizei matematice, consultați manualul.

Pe planul asimptote sunt clasificate în funcție de locația lor naturală:

unu) Asimptote verticale care sunt specificate de ecuația de vizualizare unde "Alpha" este un număr valid. Reprezentant popular Determină axa în sine ordonată, Cu un atac de greață ușoară Amintiți-vă Hyperbolu. .  

2) Înclinat asymptotes. Înregistrate în mod tradițional Ecuația Direct. cu coeficientul unghiular . Uneori, un grup separat alocă un caz special - Asimptote orizontale . De exemplu, același hiperbolă cu asimptota .

M-am dus, am condus, am lovit subiectul o coadă de automobile scurte:

Câte asimptote pot fi un program de funcții?

Nu unul, unul, doi, trei, ... sau infinit foarte mult. Pentru exemple nu va merge departe, amintiți-vă Funcții elementare . Parabola, parabola cubică, sinusoidul nu au deloc asimptote. Graficul funcției exponențiale, logaritmice are singura asimptota. Arcthangence, arkothangence, sunt două dintre ele, iar tangenele, Kotangenes, sunt infinit foarte mult. Nu este mai puțin frecventă când programul este echipat cu asimptote orizontale și verticale. Hyperbole, vă va iubi întotdeauna.

Ce înseamnă să găsiți asimptote de funcții grafice?

Înseamnă să le afli ecuații , Bine, trageți linii drepte dacă condiția sarcinii necesită. Procesul implică găsirea Limitele funcțiilor .

Funcțiile grafice asimptote verticale

Grafica asimptota verticală este de obicei localizată La sfârșitul ruperii nesfârșite Funcții. Totul este simplu: dacă la punct funcţie Tolerează un decalaj nesfârșit, apoi o linie dreaptă specificată de ecuație Este o asimptota verticală a graficului.

Notă : Vă rugăm să rețineți că înregistrarea Folosit pentru a desemna două concepte complet diferite. Punctul este implicit sau ecuația este directă - depinde de context.

Astfel încât să stabilească prezența asimptotelor verticale La punctul Suficient pentru a arăta asta cel puțin unul De la limite unilaterale infinit. Cel mai adesea acesta este un punct în care denominatorul funcției este zero. În esență, am găsit deja asimptote verticale în cele mai recente exemple ale lecției. Privind continuitatea funcției . Dar, în unele cazuri, există doar o limită unilaterală și dacă este infinit, atunci din nou - iubiți și plângeți asimptot vertical. Ilustrație simplă: și axa ordonată (vezi Diagrame și proprietăți ale funcțiilor elementare ).

Din cele de mai sus, este, de asemenea, un fapt evident: Dacă funcția este continuă , apoi lipsesc asimptote verticale . Din anumite motive, Parabola a venit în minte. Într-adevăr, unde este "blocat" drept? ... da ... înțeleg ... urmașii unchiului Freud a bătut în isterică =) Declarația inversă este, în general, incorectă: deci, funcția

Nu este determinată pe întreaga linie numerică, dar absolut lipsită de asimptote.

Înclinat asimptote de grafică a funcțiilor Înclinați (ca caz special - orizontal) pot fi trase în cazul în care argumentul funcției tinde la "plus infinit" sau "minus infinit". prin urmare Graficul funcției nu poate avea mai mult de două asimptote înclinate . De exemplu, un grafic al funcției exponențiale are singura asimptota orizontală cu , și programul lui ArtrGangent pentru

- două asemenea asimptote și diferite. Când programul și acolo și se apropie mai mult cu singura asimptot înclinată, atunci "Infinity" este făcută pentru a combina sub o singură înregistrare .

. De exemplu, a fost ghicit în mod corespunzător: :

Regula practică generală Dacă există două Finit Funcția asimptotes.limită , Atunci drept. , și programul lui ArtrGangent este asimptotipul înclinat al programului de funcții cel puțin unul . În cazul în care o

Notă Din limitele enumerate sunt nesfârșite, asimptota înclinată este absentă.

: Formulele rămân valabile dacă "x" caută numai la "Plus Infinity" sau numai la "minus infinit". Arătăm că parabola

Fără asimptote înclinate: Limita este infinită, înseamnă că asimptota înclinată este absentă. Rețineți că în găsirea limitei

Notă Nevoia a dispărut, deoarece răspunsul a fost deja primit. : Dacă aveți (sau ați apărut) dificultăți cu înțelegerea semnelor de "plus minus", "minus-plus", vă rugăm să consultați certificatul de la începutul lecției Despre funcții infinit de mici

unde i-am spus cum să interpretez corect aceste semne.

Evident, orice funcție patratic, cubică, polinomul celei de-a 4-a și cele mai înalte, nu există, de asemenea, asimptot înclinat. Și acum asigurați-vă că în program Nu există asimptote înclinate. Să dezvăluie utilizarea incertitudinii :Regula lopitală

Pentru funcţie Ceea ce trebuia să verifice. Este în creștere pe termen nelimitat, dar nu există nici o astfel de direcție la care s-ar apropia programul ei .

Infinit de aproape

Mergeți la partea practică a lecției:

Cum să găsiți graficul de grafic Asymptotes?

Exemplul 1.

Aceasta este modul în care este formulată sarcina tipică și implică găsirea tuturor asimptotelor de grafică (verticală, înclinată / orizontală). Deși, dacă este mai precisă în formularea problemei - vorbim despre studiul pentru prezența asimptotelor (pentru că acestea nu pot fi deloc). Să începem cu ceva simplu:

Decizie Găsiți funcții grafice Asymptotes

Convenabil să se împartă în două puncte: 1) Verificați mai întâi dacă există asimptote verticale. Denumimul atrage la zero și este clar că, în acest moment, funcția tolerează Pauză infinită , și drept, dat de ecuație este asimptotipul vertical al graficelor funcției

. Dar, înainte de a emite o astfel de concluzie, este necesar să se găsească limite cu sens unic: Am reamintesc tehnica de calcul, pe care m-am oprit în articol Funcția de continuitate. Puncte de pulverizare . În expresia sub semnul limitei în loc de "Iksa", înlocuim .

. În numărator, nimic interesant: Dar în numitorul se dovedește : număr infinit de mic negativ

, determină soarta limitei. Limita spre stânga este nesfârșită și, în principiu, puteți suporta deja verdictul asupra prezenței asimptotelor verticale. Însă limitele unilaterale sunt necesare nu numai pentru acest lucru - ei ajută la înțelegere LA FEL DE Localizați un grafic al unei funcții și construiți-o CORECT

. Prin urmare, vom calcula în mod necesar limita dreaptă: Ieșire : Limitele unice sunt infinite, înseamnă că drepți .

este un asimptotip vertical al unei grafice de funcții atunci când

2) Verificați prezența asimptotelor înclinate: Prima limită finit Deci, este necesar să "continuați conversația" și să găsiți a doua limită: Prima limită .

A doua limită prea

. Prin urmare, vom calcula în mod necesar limita dreaptă: Astfel, asimptotes: : Ecuația directă specificată prin ecuație .

este un asimptotip orizontal al unei grafice de funcții atunci când Pentru a găsi asimptote orizontale :

Puteți utiliza o formulă simplificată Dacă există finit Formulele care găsesc asimptote înclinatelimită limită , și programul lui ArtrGangent .

este o funcție grafică asimpttota orizontală  Este ușor de observat că funcția numitor și denominator O ordine de creștere

Răspuns :

Deci, limita dorită va fi finala: Sub condiția că nu este nevoie să faceți desenul, dar dacă în plină desfășurare Funcția de cercetare Formula simplificată pentru găsirea asimptotelor orizontale, atunci pe Chernovik face imediat schițe: Pe baza celor trei limite găsite , încercați să vă estimați cum să faceți un program de funcții . Este complet dificil? Găsiți 5-6-7-8 puncte și marcați-le în desen. Cu toate acestea, programul acestei funcții este construit utilizând Funcție elementară Transformări grafice

Exemplul 2.

Aceasta este modul în care este formulată sarcina tipică și implică găsirea tuturor asimptotelor de grafică (verticală, înclinată / orizontală). Deși, dacă este mai precisă în formularea problemei - vorbim despre studiul pentru prezența asimptotelor (pentru că acestea nu pot fi deloc). Să începem cu ceva simplu:

, iar cititorii care au considerat cu atenție un exemplu 21 din acest articol vor ghici cu ușurință ce fel de curbă.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Procesul, reamintesc, este convenabil să se împartă în două puncte - asimptote verticale și asimptote înclinate. În soluția de eșantion, asimptota orizontală a fost găsită într-o schemă simplificată.

Exemplul 3.

Aceasta este modul în care este formulată sarcina tipică și implică găsirea tuturor asimptotelor de grafică (verticală, înclinată / orizontală). Deși, dacă este mai precisă în formularea problemei - vorbim despre studiul pentru prezența asimptotelor (pentru că acestea nu pot fi deloc). Să începem cu ceva simplu:

Decizie În practică, funcțiile raționale fracționate sunt găsite cel mai adesea și după antrenamentul pe hiperboles complică sarcina:

: O dată, două și gata: 1) sunt localizate asimptote verticale În punctele de pauză infinită Prin urmare, trebuie să verificați dacă denominatorul se transformă în zero. Decisiv :ecuația patrată

Discriminanța este pozitivă, astfel încât ecuația are două rădăcini valide, iar munca este adăugată semnificativ =) :Pentru a găsi în continuare limitele unilaterale, trotterul pătrat este convenabil pentru a se descompune pe multiplicatori.

(Pentru un record compact "minus", a contribuit la primul suport). Pentru suspendare, efectuăm un control, mental fie pe brațele de deschidere.

Rescrieți funcția în formular :

Găsiți limite cu sens unic la punct :

Și la punctul Astfel, drept.

sunt asimptote verticale ale graficului funcției în cauză. 2) Dacă vă uitați la funcția , este destul de evident că limita

Va fi finit și avem o asimptota orizontală. Să-l arătăm într-un mod scurt: Astfel, drept.

Răspuns :

(Axa Abscisa) este asimptotipul orizontal al graficului acestei funcții.

Limitele găsite și asimptote oferă o mulțime de informații despre funcția de programare. Încercați să vă imaginați mental desenul ținând cont de următoarele fapte:

Schema descrie versiunea dvs. a graficului de pe proiect. Desigur, limitele găsite fără echivoc determină tipul de grafică și, poate, permiteți o eroare, dar exercițiul în sine va avea o asistență neprețuită în timpul Funcția completă a funcției

Exemplul 4.

Aceasta este modul în care este formulată sarcina tipică și implică găsirea tuturor asimptotelor de grafică (verticală, înclinată / orizontală). Deși, dacă este mai precisă în formularea problemei - vorbim despre studiul pentru prezența asimptotelor (pentru că acestea nu pot fi deloc). Să începem cu ceva simplu:

. Imaginea potrivită este la sfârșitul lecției.

Aceasta este modul în care este formulată sarcina tipică și implică găsirea tuturor asimptotelor de grafică (verticală, înclinată / orizontală). Deși, dacă este mai precisă în formularea problemei - vorbim despre studiul pentru prezența asimptotelor (pentru că acestea nu pot fi deloc). Să începem cu ceva simplu: Exemplul 5. Acestea sunt sarcini pentru o soluție independentă. Ambele grafice au din nou asimptote orizontale, care sunt imediat detectate prin următoarele caracteristici: în Exemplul 4 Înălțime de ordine numitor Mai mult decât ordinea creșterii numărătorului și în exemplul 5 numitor și denominator O ordine de creștere .

. În eșantionul soluției, prima funcție a fost examinată pentru prezența în întregime a asimptotelor înclinate, iar al doilea - prin limită

Asimptote orizontale, în impresia mea subiectivă, sunt vizibile mai des decât cele care sunt "cu adevărat înclinate". Long-așteptat caz general:

Aceasta este modul în care este formulată sarcina tipică și implică găsirea tuturor asimptotelor de grafică (verticală, înclinată / orizontală). Deși, dacă este mai precisă în formularea problemei - vorbim despre studiul pentru prezența asimptotelor (pentru că acestea nu pot fi deloc). Să începem cu ceva simplu:

Decizie Exemplul 6.

: Clasics of the Gen: 1) Deoarece numitorul este pozitiv, atunci funcția Continuu

este un asimptotip vertical al unei grafice de funcții atunci când Pe întreaga direcție numerică și nu există asimptote verticale. ... este bine? Nu cuvântul - mare! Clauza numărul 1 este închis. Prima limită Prima limită , așa că mergem mai departe. În cursul calculării celei de-a doua limite pentru a elimina Incertitudinea "infinit minus infinit"

Dăm o expresie denominatorului general: Prima limită A doua limită prea

. Prin urmare, vom calcula în mod necesar limita dreaptă: :

Prin urmare, în graficul funcției în cauză, există o asimptotteză înclinată: Astfel, când  Este în creștere pe termen nelimitat, dar nu există nici o astfel de direcție la care s-ar apropia programul ei Funcția de programare :Asimptota verticală și orizontală

se apropie direct

Rețineți că traversează asimptotomul său înclinat la începutul coordonatelor, iar astfel de puncte de intersecție sunt destul de acceptabile - este important ca "totul a fost bine" la infinit (de fapt, vorbim despre asimptote și ieșim acolo).

Aceasta este modul în care este formulată sarcina tipică și implică găsirea tuturor asimptotelor de grafică (verticală, înclinată / orizontală). Deși, dacă este mai precisă în formularea problemei - vorbim despre studiul pentru prezența asimptotelor (pentru că acestea nu pot fi deloc). Să începem cu ceva simplu:

Decizie Exemplul 7.

: Nu este nimic de comentariu, așa că voi emite o soluție exemplară de eșantion: .1) asimptote verticale. Explorați punctul Drept , și programul lui ArtrGangent .

este asimptota verticală pentru program

2) Asymptote înclinate: Drept , și programul lui ArtrGangent .

Răspuns :

este asimptota oblică pentru program

Limitele unilaterale și asimptote cu fiabilitate ridicată fac posibilă presupunerea modului în care arată graficul acestei funcții. Desenul corect la sfârșitul lecției.

Aceasta este modul în care este formulată sarcina tipică și implică găsirea tuturor asimptotelor de grafică (verticală, înclinată / orizontală). Deși, dacă este mai precisă în formularea problemei - vorbim despre studiul pentru prezența asimptotelor (pentru că acestea nu pot fi deloc). Să începem cu ceva simplu:

Exemplul 8.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, pentru confortul calculării unor limite pe care le puteți împărți numitorul la numitor. Și din nou, analizând rezultatele obținute, încercați să trageți programul acestei caracteristici. Evident, proprietarii asimptotelor înclinate "reale" sunt grafice ale acestor funcții raționale fracționate care au un grad mai mare de numerotare pe unitate mai mare ).

gradul de denominator. Dacă asimptote mai înclinate nu vor mai fi (de exemplu,

Dar alte minuni apar în viață:

Exemplul 9.

Decizie Explorați graficul funcției pentru prezența asimptotului 1) Deoarece numitorul este pozitiv, atunci funcția : Funcția.

Pe întreaga comandă numerică, înseamnă că asimptote verticale sunt absente. Dar înclinat ar putea fi bine. Verifica:

Îmi amintesc cum chiar și universitatea sa confruntat cu o funcție similară și pur și simplu nu a putut să creadă că avea o asimptota înclinată. Atâta timp cât nu a calculat a doua limită:  и Strict vorbind, iată două incertitudini: Dar, oricum, trebuie să utilizați o metodă de soluție dezasamblată în exemplele 5-6 articole despre limitele complexității crescute :

Răspuns :

. Multiplicați și împărțiți-vă pe o expresie conjugată pentru a profita de formula

Poate cea mai populară asimptică asimptota. Până în prezent, infinitatea a reușit să "taie un pieptene", dar se întâmplă că funcția de programare Două diferite Înclinat asymptotes. :

si pentru

Exemplul 9.

Decizie Exemplul 10. : Expresia forțată pozitiv, înseamnă asta domeniu

- Orice număr într-adevăr, iar bastoane verticale nu pot fi.

Verificați dacă există asimptote înclinate. Dacă "x" caută "minus infinit", atunci:

(Când faceți "Iksa" sub rădăcina pătrată, trebuie să adăugați un semn "minus", astfel încât să nu pierdeți negativitatea numitorului)

Va fi finit și avem o asimptota orizontală. Să-l arătăm într-un mod scurt: Arată neobișnuit, dar aici incertitudinea "infinit minus infinit". Înmulțim numărătorul și numitorul asupra expresiei conjugate: .

este asimptota înclinată a graficului când

Cu "plus infinit", totul este trivial: Și drept. .

Răspuns : - PLY. ;- PLY. .

, în cazul în care o Unificat asymptota grafic, cu "x" care caută infinit la "plus" și "minus"Nu rezista imaginii grafice: Aceasta este una dintre ramuri. .

Hiperbolă Nu mai puțin frecvente atunci când prezența potențială a asimptotului este inițial limitată :

Zona definiției funcției.

Exemplul 9.

Decizie Exemplul 11. : Este evident că

Prin urmare, considerăm doar jumătatea de față dreaptă, unde există un program de funcții. 1) Deoarece numitorul este pozitiv, atunci funcția 1) Funcția. La intervalul  Deci, dacă există asymptota verticală, atunci poate fi doar axa ordonată. Explorați comportamentul funcției în apropierea punctului :

pe dreapta Notă, Nu există nicio incertitudine aici (În astfel de cazuri, atenția a fost axată la începutul articolului. .

Va fi finit și avem o asimptota orizontală. Să-l arătăm într-un mod scurt: Metode de rezolvare a limitelor) , și programul lui ArtrGangent .

(Axa Ordinat) este o asimptota verticală pentru programul de funcții 2) Cercetarea privind asimptoul înclinat poate fi efectuată în schemă completă, dar în articol Reguli Lopitale. Am aflat că funcția liniară a unei ordini de creștere mai mare decât logaritmia, prin urmare:

(A se vedea exemplul 1 din aceeași lecție). .

Răspuns : - PLY. ;- PLY. .

Concluzie: Axa Abscisa este un asimptotip orizontal al graficului funcției când Două asimptice diferite de grafice

Desen pentru claritate: Interesant, se pare ca o funcție similară

Asymptotes nu sunt deloc (dorințele o pot verifica).

Două exemple finale pentru auto-studiu:

Exemplul 9.

Exemplul 12. Pentru a verifica asimptote verticale, trebuie mai întâi să găsiți Zona definiției funcției.

Și apoi calculați câteva limite unilaterale în punctele "suspecte". De asemenea, nu sunt excluse asymptote înclinate, deoarece funcția este definită pe infinitatea "plus" și "minus".

Exemplul 9.

Exemplul 13.  , Și aici poate exista doar asimptote oblice și direcțiile

Ar trebui luată în considerare separat.

Sper că veți găsi asymptotes necesare =)

Îți doresc succes!

Soluții și răspunsuri: Decizie : Exemplul 2: 1) asimptote verticale. Funcția tolerează decalajul nesfârșit la punct 2) Asymptote înclinate: : Limitele unice sunt infinite, înseamnă că drepți .. Găsiți limite cu sens unic: 2) Asymptote înclinate: 2) Asymptote înclinate. .Răspuns :

(Axa Abscisa) este asimptotipul orizontal al grafica funcției când Desen Logaritmul de funcții grafice verticale și orizontale asimptota "x" împărțit la "x"

De exemplu 3: Decizie : Exemplul 2: Exemplul 4: Notă . Calculăm limitele unilaterale: .2) Asymptote înclinate: : Un număr negativ infinit de mic este în mod egal un număr pozitiv infinit de mic: Este un asimptotip vertical al unei grafice de funcții. 2) Asymptote înclinate: 2) Asymptote înclinate. .Răspuns :

2) Asymptote înclinate. Decizie : Exemplul 5: 1) Explorați funcția pentru prezența asimptotelor verticale. Găsiți puncte în care denominatorul se adresează zero: Nu există rădăcini valide. . Găsiți limite cu sens unic: 2) Asymptote înclinate: : Ecuația directă specificată prin ecuație .Răspuns :

(Axa Abscisa) este asimptotipul orizontal al grafica funcției când Funcția de funcționare este continuă pe întreaga linie numerică, înseamnă că asimptote verticale sunt absente. Blogul lui Emelia Alexander

De exemplu 7: Exemplul 8: : Decizie .,Notă 1) asimptote verticale. Explorați punctul ..2) Asymptote înclinate: : Un număr negativ infinit de mic la un grad ciudat este un număr negativ infinit de mic: (axă - PLY. .) este o asimptota verticală pentru program 2) Asymptote înclinate: Drept , și programul lui ArtrGangent .Răspuns : 2) Asymptote înclinate: Успехов в дальнейшем изучении математического анализа!

Graficul acestei caracteristici: Decizie Exemplul 12: Pentru a verifica asimptote verticale, trebuie mai întâi să găsiți : .: Găsi În plus față de metoda analitică de găsire a unui câmp de definiție, puteți utiliza .Metoda intervalului. 1) Verificați prezența asimptotelor verticale. Pentru confortul și claritatea calculelor, vom defini argumentul logaritm asupra multiplicatorilor: Și la punctul Calculăm limitele unilaterale:   и sunt asimptote verticale pentru funcția grafică atunci când . Găsiți limite cu sens unic: respectiv. Nu există asimptote înclinate. Să dezvăluie utilizarea incertitudinii :De două ori Prima limită este finită, găsim cea de-a doua limită: Răspuns : - PLY. ;- PLY. .

Deci, asimptote înclinate sunt absente. Decizie Exemplul 13: : Deoarece funcția este continuă , atunci asimptote verticale sunt absente. Aflăm dacă există asimptote înclinate la program: Prin urmare Va fi finit și avem o asimptota orizontală. Să-l arătăm într-un mod scurt: Graficul nu are asimptote înclinate. .Răspuns este asimptotipul orizontal al graficului acestei funcții atunci când .

: Axa abscisa cand

 Блог Емелина Александра

Postat de: Emelin Alexander

Cea mai mare matematică pentru anomalii și nu numai >>>

(Mergeți la pagina principală)

Cum poți să-i mulțumesc autorului?

Добавить комментарий