Come tradurre una frazione ordinaria in decimale?

Qual è la frazione: il concetto

Frazione - Questo è un record di un numero in matematica in cui a и b- numeri o espressioni. In sostanza, è solo una delle forme in cui puoi presentare un numero. Esistono due formati di registrazione:

  • Vista ordinaria - ½ o A / B,
  • Vista decimale - 0,5.

In una frazione ordinaria sopra la linea, è consuetudine scrivere un divario, che diventa un numeratore, e sotto la linea è sempre un divisore, che è chiamato il denominatore. Il tratto tra il numeratore e il denominatore significa divisione.

Componenti alimentari

I fraci sono due tipi:

  1. Numerico - consiste in numeri. Ad esempio, 5/9 o (1,5 - 0.2) / 15.
  2. Algebraico - consistono in variabili. Ad esempio, (x + y) / (x-y). In questo caso, il valore della frazione dipende da questi valori delle lettere.

La frazione è chiamata giusta Quando il suo numeratore è inferiore al denominatore. Ad esempio, 3/7 e 31/45.

Sbagliato - Quello che ha un numeratore più denominatore o uguale a lui. Ad esempio, 21/4. Tale numero è misto e letto come "cinque a partire da un quarto", ed è registrato - 5 1 \ 4.

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Cos'è una frazione decimale

Prima di rispondere alla domanda, come trovare una frazione decimale, comprenderemo le definizioni di base, i tipi di frazioni e la differenza tra loro.

Nella frazione decimale, il denominatore è sempre uguale a 10, 100, 1000, 10.000, ecc. Infatti, decimale - Questo è ciò che si scopre se divise il numeratore al denominatore. La frazione decimale è registrata in una linea attraverso la virgola per separare l'intera parte del frazionario. Come questo:

Parti di frazioni decimali

Frazione decimale finita - Questa è una frazione in cui il numero di numeri dopo la virgola definita definitivamente.

Frazione decimale infinita - Questo è quando la quantità di cifre è infinita dopo la virgola. Per la comodità della matematica, hanno accettato di arrotondare questi numeri a 1-3 dopo la virgola.

In una breve registrazione della frazione periodica, i numeri ripetitivi sono scritti tra parentesi ed è chiamato il periodo di frazione. Ad esempio, invece di 1,555 ... scrivi 1, (5) e leggere "un intero e cinque nel periodo".

Periodo perobi

Proprietà delle frazioni decimali

La proprietà principale della frazione decimale Sembra questo: se una frazione decimale sul diritto di attribuire uno o più zeri - il suo valore non cambierà. Ciò significa che se nella tua frazione un sacco di zeri - possono semplicemente essere scartati. Per esempio:

  • 0,600 = 0.6.
  • 21.10200000 = 21,102.
Le principali proprietà delle frazioni decimali
  1. La frazione non importa, fornita se il divisore è zero.
  2. La frazione è zero, se il numeratore è zero e il denominatore non lo è.
  3. Due frazioni A / B e C / D sono chiamate uguali, se A * D = B * c.
  4. Se il numeratore e il denominatore moltiplicano o dividono lo stesso numero naturale, quindi la frazione uguale ad essa.

Frazione ordinaria e decimale - Amici di lunga data. Qui, come sono correlati:

  • L'intera parte della frazione decimale è uguale all'intera parte della frazione mista. Se il numeratore è inferiore al denominatore, l'intera parte è zero.
  • La parte frazionata della frazione decimale contiene le stesse figure del numeratore della stessa frazione in forma ordinaria.
  • Il numero di numeri dopo la virgola dipende dal numero di zeri nella valvola della frazione ordinaria. Cioè, 1 cifra - Divisore 10, 4 numeri - Divisore 10.000.

Come tradurre la solita frazione in decimale

Prima di sapere come dalla consueta registrazione, vai al decimale, ricorda le differenze in due tipi di frazioni e formulare una regola importante.

Le frazioni decimali sono i disegni del modulo 0.5; 2,16 e -7,42. E così gli stessi numeri sembrano frazioni ordinarie:

Le frazioni decimali si traducono in ordinary

Una frazione ordinaria può essere tradotta in una frazione decimale finita solo sotto la condizione che il suo denominatore può essere decomposto su semplici moltiplicatori 2 e 5 qualsiasi numero di volte. Per esempio:

Trasferimento alla frazione decimale finale

La frazione 11/40 può essere convertita in un decimale finito, poiché il denominatore è piegato a moltiplicatori 2 e 5.

Un esempio di conversione a una frazione decimale finita

La frazione del 17/60 non può essere convertita in una frazione decimale finita, perché nel suo denominatore oltre ai moltiplicatori 2 e 5, ci sono 3.

E ora rivolgiamo alla domanda più importante: considerare diversi algoritmi per il trasferimento della frazione ordinaria in decimale.

Metodo 1. Girare il denominatore a 10, 100 o 1000

Per trasformare la frazione del decimale, è necessario un numeratore e un denominatore da moltiplicare sullo stesso numero in modo che 10, 100, 1000, ecc., Sia ottenuto nel denominatore. Ma prima di procedere ai calcoli, è necessario verificare se è possibile trasformare questa frazione in decimale.

Ad esempio, prendere la frazione 3/20. Può essere portato in un decimale finito, perché il suo denominatore declina i moltiplicatori 2 e 5.

Traduci le frazioni fino al finale

Possiamo arrivare in fondo a 100: è sufficiente a moltiplicare 20 su 5. Non dimenticare anche la parte superiore: otteniamo 15.

Ora scrivi il numeratore separatamente. Contiamo sulla destra quante più segni come zero è nel denominatore e mettiamo la virgola. Nel nostro esempio in un denominatore 100 (ha due zero), significa che mettiamo la virgola dopo il conto alla rovescia di due personaggi e ottenendo 0,15. La trasformazione è pronta.

Esempio di decimale di traduzione

Un altro esempio:

Come capire che la frazione può essere tradotta nel decimale finale

Metodo 2. Consegna il numeratore al denominatore

Per tradurre una frazione ordinaria in decimale, è sufficiente separare la parte superiore in basso. Il modo più semplice per farlo, ovviamente, sulla calcolatrice - ma non sono autorizzati a utilizzare il controllo, quindi stiamo imparando in modo diverso.

Ad esempio, prendere la frazione 78/100. Sarò convinto che la frazione possa essere portata al decimale finale.

Controlla la capacità di trasferire alla frazione finale

Dividiamo il numeratore sul denominatore - la trasformazione è pronta:

Conversione della frazione verso la finale

Se, quando si divide l'angolo è diventato chiaro che il processo non finisce e vengono elaborati numeri ripetuti - questa frazione non può essere tradotta nel decimale finale. La risposta può essere scritta sotto forma di una frazione periodica - per questo è necessario registrare un numero ripetuto tra parentesi, come questa: 1/3 = 0.3333 .. = 0, (3).

Per comodità, abbiamo raccolto un segno di frazioni con i denominatori che si trovano più spesso nei compiti di matematica. Scaricalo al gadget o stampalo e memorizza nel libro di testo come segnalibro:

Esempio visivo di frazioni

Come tradurre la frazione decimale in ordinaria

Non inventerà una bicicletta. In effetti, l'algoritmo di conversione per la frazione decimale nell'ordinario è opposto a ciò che abbiamo smontato nella parte precedente. Qui, come sembra nella direzione opposta:

 
  1. Riscrivo la frazione originale in una nuova forma: metteremo il decimale originale nel numeratore e nel denominatore - uno:
    • 0,35 = 0,35 / 1
    • 2.34 = 2.34 / 1
  2. Moltiplicare il numeratore e il denominatore per 10 tante volte che la virgola è scomparsa nel numeratore. In questo caso, dopo ogni moltiplicazione, la virgola nel numeratore si sposta a destra a un segno, e il denominatore è aggiuntamente aggiunto zero. ESEMPIO È facile:
    • 0,35 = 0,35 / 1 = 3,5 / 10 = 35/100
    • 2.34 = 2.34 / 1 = 23.4 / 10 = 234/100
  3. E ora tagliamo - cioè, dividiamo il numeratore e il denominatore ai numeri multipli di loro:
    • 0.35 = 35/100, dividere il numeratore e un denominatore per cinque, otteniamo il 6/20, ancora una volta diviso per 2, otteniamo la risposta finale 3/10.
    • 2.34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

Non dimenticare meno in risposta, se un esempio riguardava un numero negativo. Errore molto offensivo!

Meno firmare in frazione
Un altro algoritmo: come convertire una frazione decimale in ordinario
  1. Calcola quanti numeri sono dopo la virgola. Ad esempio, la frazione 0.25 ha due numeri di questi numeri e 1.0211 - quattro. Dennare questo numero di lettera n.
  2. Riscrivi il numero iniziale sotto forma di una frazione del modulo A / 10. ndove a- Questi sono tutti i figure della frazione originale e n- il numero di numeri dopo la virgola, che abbiamo contato nel primo passo. In altre parole, è necessario dividere i numeri della frazione iniziale per unità con nZeros.
  3. Ridurre la frazione risultante se possibile.

È tutto! Questo schema è molto più facile e veloce. Dai un'occhiata:

Algoritmo di conversione della frazione decimale in ordinario

Come possiamo vedere, nella frazione 0,55 dopo la virgola, ci sono due cifre - 5 e 5. Pertanto, n = 2. Se rimuovi la virgola e gli zeri a sinistra, otteniamo il numero 55. Andiamo al Secondo passo: 10N = 102 = 100, quindi ne vale la pena 100. Resta per accorciare il numeratore e il denominatore. Ecco la risposta: 11/20.

Come tradurre una frazione decimale periodica in ordinaria

Qualsiasi frazione decimale periodica infinita può essere tradotta in ordinaria. Analizzeremo gli esempi.

Se il periodo di frazione è zero, la decisione sarà rapidamente. La frazione periodica con il periodo zero è sostituito da una frazione decimale finita e il processo di circolazione di tale frazione è ridotto all'appello della frazione decimale finale.

Convertiamo una frazione periodica 1.32 (0) in uno ordinario.

Per fare ciò, lanciare gli zeros a destra e otteniamo la frazione decimale finale 1.32. Avanti, seguire l'algoritmo dai paragrafi precedenti:

Traduzione di frazioni decimali periodiche in ordinaria

Questa è la risposta!

Se il periodo di frazione è diverso da zero - consideriamo la parte periodica come la quantità dei membri della progressione geometrica, che diminuisce. Spieghiamo sull'esempio:

0, (98) = 0.98 + 0.0098 + 0.000098 + 0,00000098 + ..

Per la quantità di membri di una progressione geometrica senza fine che diminuisce c'è una formula. Se il primo mandato della progressione è uguale be il denominatore qTale, quello 0 <q <1 Quindi l'importo è uguale B / (1-Q) .

Traduciamo la frazione periodica 0, (7) per ordinaria.

Scriviamo: 0, (7) = 0,7 + 0.07 + 0.007 + .. Vediamo una progressione geometrica decrescente infinita con il primo mandato di 0,7 e il denominatore 0.1. Applicare la formula: 0, (7) = 0,7 + 0,07 + 0.007 + .. = 0.7 / (1 - 0.1) = 0,7 / 0.9 = 7/9.

Esempi di conversione delle frazioni decimali

Traduzione di frazione decimale in una frazione ordinaria

Considera il processo di conversione delle frazioni decimali negli esempi.

Esempio Convertire la frazione decimale 0,45 in una frazione ordinaria

Convertiamo 0,45 in frazione.

Frazione serena Differenze frazioni nove sedicesimi minus sette anni ventiCon l'aiuto di trovare il più grande divisore generale del numeratore e del Denominatore e della successiva divisione del numero ottenuto sul numeratore e il denominatore, il nodo (45.100) = 5.

Esempio Convertire 0,875 in frazione.

Mostrando come tradurre una frazione decimale al solito.

Nodo (875.1000) = 125

Traduzione di frazione decimale in frazione mista

Se la frazione decimale è maggiore di 1, si ottiene un numero misto a causa della trasformazione. L'intera parte quando la traduzione rimane invariata.

Considera sull'esempio come tradurre un numero in una frazione mista.

Esempio Convertire il numero 567.35 in un numero misto

567.35 sotto forma di frazione mista.

Nel risultato della conversione, otteniamo una frazione mista.

Esempio Traduci un numero 1.99 in frazione

1.99 sotto forma di frazione mista.

Altre traduzioni di frazioni.

Come tradurre la frazione decimale in ordinaria

Qui, sembrerebbe, la traduzione della frazione decimale nel solito è un argomento elementare, ma molti studenti non lo capiscono! Pertanto, oggi considereremo in dettaglio diversi algoritmi contemporaneamente, con l'aiuto di cui scoprirai le frazioni letteralmente al secondo.

Lascia che ti ricordi che ci sono almeno due forme di registrazione della stessa frazione: un ordinario e decimale. Le frazioni decimali sono tutte sorte di costruzioni del modulo 0.75; 1.33; E anche -7.41. Ma esempi di frazioni ordinarie che esprimono gli stessi numeri:

\ [0.75 = \ frac {3} {4}; \ quad 1,33 = 1 \ frac {33} {100}; \ quad -7,41 = -7 \ frac {41} {100} \]

Ora lo scopriremo: come andare al solito record dal decimale? E soprattutto: come renderlo il più velocemente possibile?

L'algoritmo principale

In effetti, ci sono almeno due algoritmi. E ora considereremo entrambi. Iniziamo con il primo semplice e comprensibile.

Per tradurre una frazione decimale in uno ordinario, è necessario eseguire tre passaggi:

  1. Riscrivi la frazione di partenza sotto forma di una nuova frazione: il decimale di origine rimarrà nel numeratore e il denominatore deve mettere un'unità. In questo caso, il segno del numero iniziale è anche inserito nel numeratore. Per esempio:

    \ [0.75 = \ frac {0.75} {1}; \ quad 1.33 = \ frac {1,33} {1}; \ quad -7,41 = \ frac {-7,41} {one} \]

  2. Moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della frazione risultante 10 fino a quando la virgola scompare nel numeratore. Lascia che ti ricordi: con ogni moltiplicazione di 10, la virgola si sposta a destra a un segno. Naturalmente, dal momento che il Denominatore è moltiplicato, anche lì del numero 1 apparirà 10, 100, ecc. Esempi:
    Algoritmo per la transizione verso le frazioni ordinarie
  3. Infine, riduciamo la frazione risultante secondo lo schema standard: dividiamo il numeratore e il denominatore a quei numeri che sono dipinti. Ad esempio, nel primo esempio, 0,75 = 75/100 e 75, e 100 sono suddivisi in 25. Pertanto, otteniamo $ 0,75 = \ frac {75} {100} = \ frac {3 \ cdot 25} {4 \ Cdot 25} = \ frac {3} {4} $ - questa è l'intera risposta. :)

Nota importante sui numeri negativi. Se nell'esempio originale prima della frazione decimale c'è un segno "meno", quindi all'uscita prima che anche un tiro ordinario deve essere "meno". Ecco alcuni esempi:

Esempi di transizione da registrazioni decimali di frazioni alla normalità

Vorrei prestare particolare attenzione all'ultimo esempio. Come vediamo, nella frazione 0.0025 ci sono molti zeri dopo la virgola. Per questo motivo, devi già moltiplicare il numeratore e il denominatore per 10. è possibile semplificare in qualche modo l'algoritmo in questo caso in qualche modo?

Ovviamente. E ora considereremo un algoritmo alternativo - è leggermente più complicato per la percezione, ma dopo una breve pratica funziona molto più velocemente dello standard.

Via più veloce

In questo algoritmo anche 3 passaggi. Per ottenere una frazione convenzionale del decimale, è necessario eseguire quanto segue:

  1. Calcola quanti numeri sono dopo la virgola. Ad esempio, la frazione di 1,75 numeri di questo tipo sono due e 0,0025 - quattro. Dennare questo numero di lettera $ n $.
  2. Riscrivi il numero di origine sotto forma di una frazione del modulo $ \ frac {A} {{{10} ^ {n}}} $, dove $ A $ è tutti i numeri della frazione originale (senza "avviamento" Zeros a sinistra, se ci sono), e $ n $ è il numero di numeri dopo la virgola, che abbiamo contato nel primo passo. In altre parole, è necessario dividere i numeri della frazione iniziale per unità con $ N $ Zeros.
  3. Se possibile, ridurre la frazione risultante.

È tutto! A prima vista, questo schema è più complicato dal precedente. Ma in realtà è più facile, e più veloce. Giudicare per te:

\ [0.64 = \ frac {64} {100} = \ frac {16} {25} \]

Come vediamo, nella frazione 0.64 Dopo la virgola, ci sono due cifre - 6 e 4. quindi $ n = $ 2. Se rimuovi la virgola e gli zeri a sinistra (in questo caso, solo uno zero), otteniamo il numero 64. Vai al secondo passo: $ {{10} ^ {n}} = {{10}} = {{10}} {2 }} = $ 100, quindi, vale un centinaio del denominatore. Bene, quindi rimane solo per tagliare il numeratore e il denominatore. :)

Un altro esempio:

\ [0.004 = \ frac {4} {1000} = \ frac {1} {250} \]

Tutto è più complicato qui. Innanzitutto, i numeri dopo i semicoli sono già 3 pezzi, cioè $ n = $ 3, quindi dovremo dividere su $ {{10} ^ {n}} = {{10}} {3}} = $ 1000. In secondo luogo, se rimuoviamo la virgola dal record decimale, lo otterremo: 0.004 → 0004. Richiama che gli zeri dovrebbero essere rimossi a sinistra, quindi abbiamo un numero 4. Inoltre, tutto è semplice: ci dividiamo, taglia e ottenere la risposta

Infine, l'ultimo esempio:

\ [1,88 = \ frac {188} {100} = \ frac {47} {25} = \ frac {25 + 22} {25} = 1 \ frac {22} {25} \]

La caratteristica di questa frazione è la presenza di un'intera parte. Pertanto, all'uscita, forniamo la frazione sbagliata 47/25. Puoi, naturalmente, provare a dividere 47 per 25 con il residuo e quindi assegnare nuovamente l'intera parte. Ma perché complicare la tua vita, se questo può essere fatto nella fase di trasformazione? Bene, capiamo.

Cosa fare con l'intera parte

Infatti, tutto è molto semplice: se vogliamo ottenere la frazione giusta, è necessario rimuovere l'intera parte delle trasformazioni da esso, e poi quando otteniamo il risultato, per aggiungerlo a destra prima di A caratteristica frazionata.

Ad esempio, considerare lo stesso numero: 1.88. Prendiamo un'unità (parte intera) e guardiamo la frazione 0.88. È facilmente convertito:

\ [0.88 = \ frac {88} {100} = \ frac {22} {25} \]

Quindi ricordo l'unità "Lost" e aggiungila dal fronte:

\ [\ Frac {22} {25} \ to 1 \ frac {22} {25} \]

È tutto! La risposta si è rivelata la stessa cosa dopo aver assegnato l'intera parte l'ultima volta. Più un paio di esempi:

\ [\ begin {alline} e 2,15 \ to 0,15 = \ frac {15} {100} = \ frac {3} {20} \ to 2 \ frac {3} {20}; \\ & 13.8 \ to 0.8 = \ frac {8} {10} = \ frac {4} {5} \ to 13 \ frac {4} {5}. \\\ fine {allinea}} \]

In questo e consiste nel fascino della matematica: qualunque cosa tu vada, se tutti i calcoli sono soddisfatti correttamente, la risposta sarà sempre la stessa. :)

In conclusione, vorrei considerare un'altra ricezione che molti aiutano.

Trasformazione "per sentire"

Pensiamo a ciò che è solo una frazione decimale. Più precisamente, come lo leggiamo. Ad esempio, il numero 0,64 - lo leggiamo come "zero nel complesso, 64 centesimi", giusto? Bene, o solo "64 centesimi". Parola chiave qui - "centesimi", cioè. Numero 100.

Che ne dici di 0,004? Questo è "zero di tutto, 4 millesimi" o semplicemente "quattro millesimi". Un modo o un altro, la parola chiave è "millestero", cioè 1000.

Quindi cosa c'è che non va in questo? E il fatto che siano questi numeri alla fine "pop-up" nei denominatori alla seconda fase dell'algoritmo. Quelli. 0,004 è un "quattromila" o "4 diviso per 1000":

\ [0.004 = 4: 1000 = \ frac {4} {1000} = \ frac {1} {250} \]

Prova a praticare te stesso - è molto semplice. La cosa principale è leggere correttamente la frazione originale. Ad esempio, 2,5 è "2 numeri interi, 5 decimi", quindi

\ [2.5 = 2 \ frac {5} {10} = 2 \ frac {1} {2} \]

E circa 1.125 è "1 intero, 125 migliaia", quindi

\ [1,125 = 1 \ frac {125} {1000} = 1 \ frac {1} {8} \]

Nell'ultimo esempio, ovviamente, qualcuno obietterà, dicono, non tutti gli studenti sono ovvi che 1000 è diviso in 125. Ma qui è necessario ricordare che 1000 = 10 3e 10 = 2 ∙ 5, quindi

\ [\ begin {alline} e 1000 = 10 \ clot 10 \ cdot 10 = 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ clot 5 = \\ & = 2 \ clot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ Clot 5 \ cdot 5 = 8 \ clot 125 \ end {allinea} \]

Pertanto, qualsiasi grado di dozzine è diminuito solo sui moltiplicatori 2 e 5 - questi moltiplicatori devono essere firmati nel numeratore in modo che tutto sia ridotto.

Su questa lezione è finita. Vai a un'operazione inversa più complessa - vedi "Transizione dalla frazione ordinaria a decimale".

Guarda anche:

  1. Confronta le frazioni
  2. Frazioni decimali periodiche
  3. Trial EGE 2012 datato 7 dicembre. Opzione 3 (senza logaritmi)
  4. Metodo Gauss.
  5. Integrazione in parti
  6. Compito B4: cambio valuta in tre diverse banche

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