Asymtopotes ⚠️ Funzioni Grafica: come trovare inclinato, orizzontale e verticale, esempi

Cos'è Asymtota - Concept and Definition

Definizione

Asymptota Graphics Function y = f (x) È una linea retta l, il più vicino possibile al grafico della funzione, il cui punto tende all'infinito, cioè, è rimosso illimitato dall'inizio delle coordinate della curva. La distanza tra questa funzione del punto y = f (x) e Asymptota l si impegna per zero.

La figura mostra esempi di asintoti di grafici delle funzioni.

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Fonte: pnu.edu.ru.

La figura seguente mostra una curva che si avvicina a Asymptoting e rimane da una parte in relazione ad esso.

La figura a destra mostra la curva (grafico della funzione), che smette di asymtotando infinito molte volte da diversi lati.

Asymptotes della funzione grafica, tipi principali

Gli asintoti sono suddivisi in tre tipi: Verticale , Inclinato и Orizzontale .

In diverse funzioni, potrebbero esserci quantità diverse di Asintoti:

  1. La parabola e il sinusoide non hanno asintoti.
  2. Le funzioni esponenziali e logaritmiche hanno 1 Asintot.
  3. Arcthangence e Arkotance - Due.
  4. Tangenti e Kotongenes sono una quantità infinita.
  5. L'iperbole ha asintoti orizzontali e verticali.

Diamo un esempio di essere asimptoti di iperboli.

Definizione

Iperbole - La posizione geometrica dei punti, da cui il valore assoluto della differenza di distanze fino a due messa a fuoco (punti specificati) è costante e inferiore alla distanza tra il focus stesso.

Definizione

Asintoti di iperbole - Dritto, che sono l'impasto correlato e sono determinati dalle equazioni \ (Y = \ frac bax \)  и \ (- y = \ frac bax \) .

Per \ (x \ raggi + \ infty \) La differenza nei normali Asymptotes e Hyperbole sarà \ (\ Delta \ rayarrow0 \) .

Davvero, dal momento che:

\ (\ Delta = \ frac bax- \ frac ba \ sqrt {x ^ 2-a ^ 2} = \ frac ba (x- \ sqrt {x ^ 2-a ^ 2)} = \ frac ba \ clot \ frac {x ^ 2-x ^ 2 + A ^ 2} {X + \ SQRT {X ^ 2-A ^ 2}} = \ FRAC BA \ CDOT \ FRAC {A ^ 2} {X + \ SQRT {X ^ 2 -A ^ 2}} \)

\ (\ delta \ rayerraw \ INFTY \; con \; x \ RightArow + \ Infty \)

Pertanto, se l'Ascissa X aumenta indefinitamente, il grafico degli iperbole e i suoi asintoti sono illimitati.

La disposizione degli asintoti di iperboli corrisponde alle diagonali del rettangolo, le cui parti sono parallele all'asse Oh e all'Asse OSA, e il Centro è l'inizio delle coordinate.

In iperbole equilaterale con vista \ (x ^ 2-y ^ 2 = a ^ 2 \) quando \ (B = A \) , Asymptotes avrà coefficienti angolari \ (k = \ pm \ frac ba \) pari \ (\ PM1 \) . La proprietà di questi asintoti è reciproca perpendicolarità. Dividono anche gli angoli tra gli assi di simmetria degli iperboli.

Esempio

È necessario effettuare l'equazione iperbole se le seguenti equazioni specificano i suoi asintoti:

\ (Y = \ pm \ frac {\ sqrt6} 3x \)

L'iperbole passa attraverso il punto M (6; -4).

Decisione

Applicare la formula \ (Y = \ frac bax \) e prendi:

\ (\ Frac ba = \ pm \ frac {\ sqrt6} 3 \)

Sosteniamo le coordinate del punto m nella formula generale dell'equazione iperbole:

\ (\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \)

Otteniamo un sistema di equazioni. Per ottenere l'equazione di questo iperbole, è necessario calcolare il sistema di equazioni risultante.

\ (\ sinistra \ {\ begin {array} {l} {ARRAC {6 ^ 2} {A ^ 2} - \ FRAC {{(- 4)} ^ 2} {B ^ 2} = 1, \\\ FRAC BA = \ PM \ frac {\ sqrt6} 3 \ end {array} \ destra. \ RightArdarrow A = \ PM \ sqrt {12}, \; b = \ sqrt8 \)

Di conseguenza, otteniamo:

\ (\ Frac {x ^ 2} {12} - \ frac {y ^ 2} 8 = 1 \)

Asintotes verticali

Se almeno uno dei limiti \ (\ lim_ {x \ reapyraw c-0} f (x) \) o \ (\ LIM_ {X \ READERARGRAW C + 0} F (X) \) È uguale a + ∞ o -∞, quindi il asintotum verticale della funzione della funzione y = f (x) sarà diretto x = s.

Un'altra definizione implica che se la definizione di Asymptotes X0 è un numero finito, allora tale Asymtota è verticale. Allo stesso tempo, nel punto, il limite sinistro o destro (o entrambi) è uguale a + ∞ o -∞.

Esempi di asintoti verticali:

Esempio 1.

È necessario determinare l'asintotipo verticale della funzione \ (\ LIM_ {X \ READERARGRAW + \ INFTY} A (X) = 0. \)

Decisione

Perché

\ (\ LIM_ {X \ READERARGROW0 + 0} (4+ \ FRAC1X) = + \ INFTY \)

\ (\ lim_ {x \ reayarrow0-0} (4+ \ frac1x) = - \ Infty \)

Quella x = 0 è un asymtota verticale.

ESEMPIO 2.

Avere \ (y = 2 ^ {1 / x} \) .

L'asse della ordinata è Asymtota verticale, poiché

\ (\ LIM_ {X \ RightArrow0-0} 2 ^ {1 / X} = 0 \)

\ (\ LIM_ {X \ READERARGROW0 + 0} 2 ^ {1 / X} = \ INFTY \)

Asintoti inclinati

Se la definizione di Asymptotes è presente + ∞ o -∞, quindi si riferisce a orizzontale o all'in inclinazione.

Funzione grafica Asymptota Y = F (x) è incline se questa funzione può essere rappresentata come f (x) = kx + b + a (x). La condizione dovrebbe essere eseguita: \ (A (x) \ RightArow0 \) quando \ \ (x \ raggi + \ infty \) . Direct sarà visto y = kx + b.

Dritto Y = KX + B sarà inclinato Asymtota \ (x \ raggi + \ infty \) и \ (X \ RightArow- \ Infty \) Se ci sono limiti:

\ (\ LIM_ {X \ READERHROW + \ INFTY} \ FRAC {F (X)} X = K \)

\ (\ LIM_ {X \ READERHROW + \ INFTY} \ SINISTRA [F (X) -KX \ Destra] = B \)

Se k = 0, allora l'asymtota incline si trasforma in uno orizzontale.

Applicazione della regola lopital

La regola lopital viene utilizzata quando i confini non sono definiti, ad esempio 0/0 o ∞ / ∞:

\ (\ LIM_ {X \ Right Dankow A} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ \ sinistra \ {\ frac00 \ destra \} \) o \ (\ LIM_ {X \ READERHROW A} \ FRAC {F (X)} {G (X)} = \ SINISTRA \ {\ FRAC \ INFTY \ INFTY \ DESTRE \} \)

Se le funzioni possono essere differenziate e appartengono ai dintorni del punto X = A, quindi gli asymtoti inclini devono essere firmati dalla formula:

\ (\ LIM_ {X \ REACKARGROW A} \ FRAC {F (X)} {G (X)} = \ LIM_ {X \ READERARGROW A} \ FRAC {F '(X)} {G' (X)} \ )

Il derivato può essere utilizzato ripetutamente per ottenere una costante in un numeratore o denominatore.

Esempio 1.

C'è una funzione:

\ (Y = x + \ frac1x \)

\ (K = \ lim_ {x \ reapyarrow \ infty} \ frac yx = \ lim_ {x \ reaperow \ infty} \ frac {x + {\ displaystyle \ frac1x}} x = \ lim_ {x \ reapyarrow \ Infty} ( 1 + \ frac1 {x ^ 2}) = 1 \)

\ (B = \ LIM_ {X \ READERARGROW \ INFTY} (Y-KX) = \ LIM_ {X \ RightArow \ INFTY} (X + \ FRAC1X-X) = \ LIM_ {X \ REACKARGROW \ INFTY} \ FRAC1X = 0 \

Direct y = x - grafico inclinato Asymptota di questa funzione.

ESEMPIO 2.

C'è una funzione \ (y = \ frac {\ Sinistra | x \ Destra | (x-1)} {x + 1}. \)

Considera due opzioni:

x> 0 e x <0.

Se x> 0, allora

\ (K_1 = \ LIM_ {X \ READERARGROW + \ INFTY} \ FRAC YX = \ LIM_ {X \ REACKARDRAW + \ INFTY} \ FRAC {\ Sinistra | X \ Destra | (X - 1)} {X (X + 1 )} = \ LIM_ {X \ RightArdarw + \ INFTY} \ FRAC {X (X - 1)} {X (X + 1)} = 1 \)

\ (B_1 = \ LIM_ {X \ READERARGROW + \ INFTY} (Y-K_1X) = \ LIM_ {X \ RightArow + \ INFTY} \ SINISTRA (\ frac {\ Sinistra | X \ Destra | (X - 1)} { x (x + 1)} - X \ destra) = \ LIM_ {X \ RightAnderow + \ Infty} \ frac {x (x-1) -x (x + 1)} {x + 1} = - 2 \)

Cioè, il ramo giusto della curva ha incline di asintoti sotto forma di linea retta y = x-2.

Se x <0, allora

\ (K_2 = \ LIM_ {X \ READERHROW- \ INFTY} \ FRAC YX = \ LIM_ {X \ REACKARGRAW- \ INFTY} \ FRAC {\ SINISTRA | X \ Destra | (X - 1)} {X (X + 1 )} = \ LIM_ {X \ RightArdarw- \ INFTY} \ FRAC {(- X) (X - 1)} {X (X + 1)} = - 1 \)

\ (B_2 = \ LIM_ {X \ READERARGROW- \ INFTY} (Y-K_2X) = \ LIM_ {X \ READERARGRAW- \ INFTY} \ SINISTRA (\ FRAC {\ SINISTRA | X \ Destra | (X-1)} { X + 1} + x \ destra) = \ LIM_ {X \ RightArdar- \ INFTY} \ FRAC {(X) (X - 1) + X (X + 1)} {X + 1} = 2 \)

Cioè, il ramo sinistro della curva ha incline di asintoti sotto forma di linea retta Y = -X + 2.

Asintoti orizzontali

Dritto Y = B è un asymtota orizzontale per il grafico della funzione y = f (x) se

\ (\ LIM_ {X \ READERARGROW + \ INFTY} F (X) = \ LIM_ {X \ READERHROW- \ INFTY} F (X) = B \)

Per \ (x \ raggi + \ infty \) o per \ (X \ RightArow- \ Infty \) Quando solo uno dei limiti di cui sopra è uguale al numero B, dritto Y = B diventa un asintota orizzontale non l'intera curva, ma la sua parte corrispondente.

Esempio 1.

C'è una funzione: \ (Y = 4 + \ frac1x. \)

\ (\ LIM_ {X \ Right DlaySerow + \ INFTY} \ SINISTRA (4+ \ FRAC1X \ DESTRA) = \ LIM_ {X \ READERHROW- \ INFTY} \ SINISTRA (4+ \ FRAC1X \ DESTRA) = 4 \)

Pertanto, Y = 4 è l'Asymtota orizzontale di questa funzione.

ESEMPIO 2.

A disposizione \ (y = 2 ^ {1 / x} \) .

Qui \ (\ LIM_ {X \ READERARGROW + \ INFTY} 2 ^ {1 / X} = \ LIM_ {X \ READERHROW- \ INFTY} 2 ^ {1 / X} = 1 \) .

Quindi, y = 1 - grafica grafica orizzontale asymptota.

ESEMPIO 3.

A disposizione \ (y = 2 ^ {- x}. \)

Perché

\ (\ LIM_ {X \ READERHROW + \ INFTY} = 2 ^ {- X} = 0 \)

\ (\ LIM_ {X \ READERHROW- \ INFTY} = 2 ^ {- X} = + \ INFTY \)

Allora Y = 0 - Funzione grafica Asymptota orizzontale quando \ (x \ raggi + \ infty \) .

Grafica grafica del grafico di Asymptotes.

Spesso, il compito di trovare l'Asintot della funzione è nel corso dell'analisi matematica, in particolare durante la risoluzione dei problemi sull'argomento della ricerca. Per rispondere con successo alla domanda: come trovare la funzione di Asymptotes? È necessario essere in grado di calcolare i limiti, per capire cosa immaginano, conoscono i metodi di base dei limiti di risoluzione dei limiti. Se tutto questo è possibile a livello corretto, non troverai Asymptotes per te. Allora, cos'è Asymtota? Asymptotta è una linea a cui il ramo del grafico della funzione si avvicina infinitamente. Per essere chiaramente, guarda le immagini presentate di seguito.

Asintoti

Si prega di notare che non vi è alcun contatto tra asintoti e grafici e non dovrebbe essere. Asymtota si avvicina infinitamente al grafico della funzione. Diamo un'occhiata a quali tipi di caratteristiche di Asymptotes sono e come trovarli, ma l'ultima sarà detto dopo.

Come trovare le funzioni di Asymptotes

Dalla tabella apprendono che gli asintoti della funzione sono tre specie: verticale, orizzontale, inclinato. Viene necessario ognuno di tutti gli asintpipi della funzione. Ciò richiede limiti. Quanto costa l'asintot della funzione? Risposta: non uno, uno, due, tre ... e infinitamente molto. Ogni funzione è diversa.

Asintotes verticali

Per trovare questo tipo di Asintot, è necessario trovare l'area di definizione della funzione specificata e contrassegnare il punto di gap. A questi punti, il limite della funzione sarà uguale all'infinito, il che significa che la funzione a questo punto si avvicina infinitamente alla linea di Asymptotes.

Asintoti orizzontali

È necessario sforzarsi del limite dell'argomento della funzione all'infinito. Se il limite esiste ed è uguale al numero, l'Asymtota orizzontale sarà trovato ed è uguale a $ y = y_0 $ come mostrato nella seconda colonna della tabella

Asintoti inclinati

L'Asymtota inclinata è rappresentato sotto forma di $ y = kx + B $. Dove $ k $ è un rapporto di inclinazione degli asintoti. Prima c'è un coefficiente di $ k $, quindi $ B $. Se qualcuno di essi è uguale a $ \ INFTY $, allora non c'è Asymptot incline. E se $ B = 0 $, otteniamo asintoti orizzontali. Quindi, per risparmiare tempo, è meglio trovare immediatamente l'asintotus inclinato, e l'orizzontale si manifesterà in caso di esistenza.

Esempi di soluzioni

Esempio 1.
Trova tutte le funzioni grafiche di Asymptotes $$ f (x) = \ frac {5x} {3x + 2} $$
Decisione

Per avviare la soluzione troveremo asymtoti verticali, ma per prima cosa trova il campo di determinare la funzione $ f (x) $. Per definizione, il denominatore non dovrebbe essere zero. Pertanto, abbiamo $ 3x + 2 \ neq 0; 3x \ neq -2; X \ neq - \ frac {2} {3} $. Ricevuto il punto di interruzione di $ x = - \ frac {2} {3} $. Calcoliamo il limite della funzione in esso e assicurati che l'asymptotet verticale sia $ x = - \ frac {2} {3} $.

$$ \ Lim \ Limits _ {{x \ RightArow - \ frac {2} {3}}} \ frac {5x} {3x + 2} = (- \ frac {10} {\ infty}) = - \ INFTY $ $.

Ora troviamo Asintoti orizzontali, ma calcola prima i coefficienti di $ K $ e $ B $.

$$ K = \ Lim \ Limits_ {x \ RightArdarrow \ Infty} \ frac {f (x)} {x} = \ LIM \ LIMITS_ {X \ REACKARDROW \ INFTY} \ FRAC {5} {3X + 2} = \ Frac {5} {\ INFTY} = 0 $$

Dal momento che $ k = $ 0, capiamo già quali non gli asymptoti inclinati non lo sono, ma ci sono orizzontali. Troveremo il coefficiente di $ B $.

$$ B = \ LIM \ LIM \ LIMITS_ {X \ READERARGROW \ INFTY} [F (X) -KX] = \ LIM \ LIMITS_ {X \ RightArW \ INFTY} \ FRAC {5X} {3X + 2} = \ FRAC {\ \ INFTY} {\ INFTY} = \ FRAC {5} {3} $$

Sosteniamo le fabbriche trovate nella formula $ y = kx + B $, otteniamo quel $ y = \ frac {5} {3} $ è un asymtota orizzontale.

Se è impossibile risolvere il tuo compito, quindi invialo a noi. Forniremo una decisione dettagliata. Puoi familiarizzare con il corso del calcolo e imparare le informazioni. Questo aiuterà in modo tempestivo all'insegnante!

Risposta
$$ y = \ frac {5} {3} $$
ESEMPIO 2.
Trova tutte le file grafiche Asymptotes $ f (x) = \ frac {1} {1-x} $
Decisione

Trova l'area di definizione di questo esempio per determinare i asintoti verticali. $ 1-x \ neq 0; X \ neq 1; $. Il punto di gap è $ x = 1 $, il che significa che è l'asymtota verticale. Troviamo il presupposto del limite a questo punto. $$ \ LIM \ LIMITS_ {X \ READERARGROW 1} \ FRAC {1} {1-X} = \ FRAC {1} {0} = \ INFTY $$

Procederemo per trovare l'Asintot inclinato.

$$ k = \ Lim \ Limits_ {x \ RightArdarrow \ Infty} \ frac {f (x)} {x} = \ limi \ Limits_ {x \ RightArrow \ INFTY} \ FRAC {1} {X (1-X) } = \ Frac {1} {\ INFTY} = 0 $$

$$ B = \ LIM \ LIM \ LIMITS_ {X \ RightArow \ INFTY} [F (x) -kx] = \ LIM \ LIMITS_ {X \ REACKARDROW \ INFTY} \ FRAC {1} {1-X} = \ FRAC {1 } {\ INFTY} = 0 $$

Totale $ y = 0 $ - Asymtota orizzontale.

Risposta
$$ y = 0 $$
ESEMPIO 3.
Trova tutti gli Asymptotes of Graphics Function $ f (x) = \ frac {x ^ 3} {3x ^ 2 + 5} $
Decisione

Note Noi che il denominatore non si rivolge a zero a nessun valore dell'ICA. E questo significa che non ci sono punti di discontinuità e quindi non ci sono asintoti verticali. Rimane per trovare asintoti orizzontali.

$$ k = \ lim \ limits_ {x \ reapyarrow \ infty} \ frac {f (x)} {x} = \ lim \ limits_ {x \ reapyarrow \ infty} \ frac {x ^ 2} {3x ^ 2 + 5} = \ LIM \ LIMITS_ {X \ REACKARGROW \ INFTY} {2X} {6X} = \ FRAC {1} {3} $$

Dal momento che $ k $ numero finito, non uguale a $ 0 $ o infinito, allora c'è un asymtota inclinato. Calcoliamo il numero mancante $ B $.

$$ B = \ Lim \ LIM \ LIMITS_ {X \ RightArow \ INFTY} [F (X) -KX] = \ LIM \ LIMITS_ {X \ REACKARDROW \ INFTY} [\ FRAC {X ^ 3} {3X ^ 2 + 5} - \ frac {x} {3}] = \ LIM \ LIMITS_ {X \ REACKARDROW \ INFTY} - \ FRAC {5X} {3 (3X ^ 2 + 5)} = $$$$ = - \ frac {5} {3} \ LIM \ LIMITS_ {X \ REACKARGH \ INFTY} \ FRAC {X} {3X ^ 2 + 5} {3X ^ 2 + 5} = - \ FRAC {5} {3} \ LIM \ LIMITS_ {X \ REACKARDROW \ INFTY} \ FRAC { 1} {6x} = - \ frac {5} {3} \ frac {1} {\ INFTY} = 0 $$

$ Y = \ frac {1} {3} x $ - Asintoti inclini alla funzione con un angolo di inclinazione di un terzo.

Risposta
$$ y = \ frac {1} {3} x $$
ESEMPIO 4.
Trova Asymptotes $ f (x) = xe ^ {- x} $
Decisione

Non ci sono punti di rottura, il che significa che non ci sono asinting verticale.

$$ K = \ Lim \ Limits_ {x \ RightArdarrow \ INFTY} \ FRAC {1} {E ^ X} = \ FRAC {1} {\ INFTY} = 0 $$

$$ B = \ LIM \ LIM \ LIM LIMITS_ {X \ RightArrow \ INFTY} \ FRAC {X} {E ^ X} = \ LIM \ LIMITS_ {X \ REACKARDROW \ INFTY} \ FRAC {1} {E ^ X} = \ Frac {1} {\ INFTY} = 0 $$

$ Y = 0 $ - orizzontale asymtota

Risposta
$$ y = 0 $$

Se le funzioni elementari sono fornite nelle attività, è conosciuta in anticipo quanto è Asymptotes. Ad esempio, parabola, parabola cubica, sinusoidi non ci sono sinusoidi. I grafici delle funzioni come logaritmica o esponenziale sono uno. E le funzioni di Tangenti e Kotangen sono innumerevoli asymtoti, ma Arctanens e Arkkatanence hanno due pezzi.

In tutti gli esempi, i limiti sono stati calcolati utilizzando la regola lopital, che accelera molto il processo di calcolo e crea meno errori.

Nell'articolo precedente, vengono indotte le definizioni di asintoti inclini, verticali, orizzontali. Ora vengono presentati esempi della posizione di Asintoti utilizzando la regola LOPITAL. È conveniente applicare quando i confini con l'incertezza tipo zero su zero o infinito sull'infinito , cioè, quando ci sono confini della forma

o

Quindi secondo la regola del lopital il suo valore è uguale

Se le funzioni sono diverse e sono definite nel quartiere del punto . Il derivato può essere applicato di nuovo fino a quando non otteniamo una costante in un numeratore o denominatore o una frazione si liberare delle funzionalità.

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Esempi.

Trova le funzioni di Asymptotes.

І.

Decisione:

Dannel della frazione non dovrebbe trasformarsi in zero

L'area di definizione sarà divisa in due intervalli.

Punto che rompe l'area di definizione sarà Asymtota verticale . Troviamo asintoti inclini secondo la formula

Il primo sconosciuto troverà dal limite

In secondo luogo determinato dalla regola

L'equazione finale di obliqua aslogtotare il seguente

La funzione Asymptota è mostrata nel programma

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Іі.

Decisione:

La funzione è definita in tutti i punti tranne quelli in cui il denominatore è zero. Trova soluzioni di un'equazione quadrata

Entrambe le radici rompono l'area di definizione per tre intervalli

E anche asintoti verticali della funzione. Asymptoti inclinati che troviamo con l'uso della regola lopital

Quando si calcolano le costanti Incluso nell'equazione della linea doveva applicare la regola lopital tre volte per il primo e due volte per la seconda sconosciuta. In definitiva ha ottenuto la seguente equazione di asintoti inclinati

Il grafico delle funzioni è mostrato sotto

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III.

Decisione:

Con la forma della funzione che ne consegue che è determinato in tutti i punti in cui sono definite le radici

Ottenere entrambi gli intervalli otteniamo l'area di definizione

Punto È una funzione di asymptota verticale. Calcoliamo i coefficienti inclusi nell'equazione inclinata di Asymptotes. L'applicazione della regola lopital in questo esempio Nessuna semplificazione utilizzerà quindi un altro

Semplifichiamo l'espressione nel numeratore

e sostituire il confine

L'equazione di asintoti inclinati prenderà la forma

Il grafico della funzione specificata con Asymtota inclinata è il prossimo

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Le decisioni contavano parzialmente con possibili esempi che potrebbero essere in pratica. Per un migliore possesso di questo argomento, risolvere i compiti da solo, studia i metodi convenienti per trovare i limiti della funzione che renderà i risultati più velocemente.

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Visualizza materiali:

Grafica grafica del grafico di Asymptotes.

Gli asymptoti del Ghost hanno a lungo vagare attraverso il sito in modo che finalmente materializzarsi in un articolo separato e porti a una speciale delizia dei lettori perplessi Studio completo della funzione . Trovare Asymptotes of Graphics - una delle poche parti del compito specificato, che è illuminato nel corso scolastico solo in un ordine relativo, poiché gli eventi ruotano attorno al calcolo Limiti delle funzioni E sono ancora alla matematica più alta. I visitatori che sono debolmente smontato nell'analisi matematica, un suggerimento, penso, è comprensibile ;-) ... stop-stop, dove sei? Limiti - È facile!

Esempi di Asintot si sono incontrati immediatamente nella prima lezione Grafici delle funzioni elementari E ora l'argomento ottiene una considerazione dettagliata.

Allora, cos'è Asymtota?

Immaginare Punto variabile quali "guida" in base alla grafica della funzione. Asymtota è dritto , a chih. chiude illimitato Il grafico della funzione si sta avvicinando quando si rimuove il punto variabile all'infinito.

Nota : Definizione è significativa Se hai bisogno della formulazione nei simboli dell'analisi matematica, fare riferimento al libro di testo.

Sull'aereo Asymptotes sono classificati in base alla loro posizione naturale:

uno) Asintotes verticali che sono specificati dall'equazione di visualizzazione dove "alfa" è un numero valido. Rappresentante popolare Determina l'asse stesso ordinato, Con un attacco di nausea leggera Ricorda Hyperbolu .  

2) Asintoti inclinati Tradizionalmente registrato Equazione diretta con coefficiente angolare . A volte un gruppo separato assegna un caso speciale - Asintoti orizzontali . Ad esempio, la stessa iperbole con Asymtota .

Sono andato a posto, ho guidato, ha colpito l'argomento una breve coda automobilistica:

Quanti asymtoti possono essere un programma funzione?

Non uno, uno, due, tre, ... o infinitamente molto. Per gli esempi non andrà lontano, ricorda Funzioni elementari . Parabola, parabola cubica, il sinusoide non ha affatto asymtoti. Il grafico della funzione esponenziale e logaritmica ha l'unico asymtota. Arcthangence, Arkkothothangence, ce ne sono due e tangens, Kotongenes, sono infinitamente molto. Non raro quando il programma è dotato di asintoti orizzontali e verticali. Iperbole, ti amerà sempre.

Cosa significa trovare Asymptotes of Graphics Functions?

Significa scoprirli equazioni , Bene, disegna linee rette se la condizione di attività richiede. Il processo prevede la ricerca Limiti di funzioni .

Funzioni grafiche Asymptotes verticale

Si trova di solito la grafica verticale Asymptota Alla fine della rottura infinita Funzioni. Tutto è semplice: se al punto funzione tollera un divario infinito, quindi una linea retta specificata dall'equazione È un asymtota verticale del grafico.

Nota : Si prega di notare che la registrazione Usato per designare due concetti completamente diversi. Il punto è implicito o l'equazione è diretta - dipende dal contesto.

Quindi per stabilire la presenza di asintoti verticali Al punto Abbastanza per dimostrarlo almeno una Dai limiti unilaterali infinito. Molto spesso questo è un punto in cui il denominatore della funzione è zero. Essenzialmente, abbiamo già trovato asymtoti verticali negli ultimi esempi della lezione. Sulla continuità della funzione . Ma in alcuni casi c'è solo un limite unilaterale, e se è infinito, quindi di nuovo - Amore e lamentarsi del Asintot verticale. Illustrazione semplice: e l'asse ordinato (vedi Grafici e proprietà delle funzioni elementari ).

Di quanto precede, è anche un fatto ovvio: Se la funzione è continua , quindi mancano asymptoti verticali . Per qualche ragione, è venuta in mente la parabola. In effetti, dov'è il "bloccato" dritto? ... sì ... Capisco ... I seguaci di Zio Freud Beat in Hysterics =) La dichiarazione inversa è generalmente errata: quindi, la funzione

Non determinato su tutta la linea numerica, ma assolutamente privata da Asintoti.

Asymptotes incline di grafica funzione Inclinato (come un caso speciale - orizzontale) asymtototi può essere disegnato se l'argomento della funzione tende a "più infinito" o alla "meno infinito". perciò Il grafico della funzione non può avere più di due asymtoti inclini . Ad esempio, un grafico della funzione esponenziale ha l'unico asymtota orizzontale con e programma di arctangenti per

- Due tali asymtoti e diversi. Quando il programma e lì e ci si avvicinano all'unico asintot inclinato, allora "Infinity" è fatto per combinare sotto un singolo record .

. Ad esempio, ... è stato intutamente indovinato: :

Regola generale generale Se ce ne sono due Finito Funzione di Asymptotes.limite , Quindi dritto e programma di arctangenti è l'asintopo inclinato del programma della funzione almeno una . Se un

Nota Dei limiti elencati sono infiniti, l'asymtota inclinato è assente.

: Le formule rimangono valide se "x" cerca solo al "infinito più" o solo al "meno infinito". Mostriamo quella parabola

Nessun asintoti inclini: Il limite è infinito, significa che l'asymtota incline è assente. Si noti che nel trovare il limite

Nota La necessità è scomparsa perché la risposta è già stata ricevuta. : Se hai (o si alza) difficoltà con la comprensione dei segni di "Plus-Minus", "Minus-Plus", si prega di consultare il certificato all'inizio della lezione Su funzioni infinitamente piccole

dove ho detto come interpretare correttamente questi segni.

Ovviamente, qualsiasi funzione quadratica, cubica, il polinomio dei 4 ° e più alti gradi non è anche nessuno inclinato asint. E ora assicurati che in programma Non ci sono asintoti inclini. Per divulgare l'uso dell'incertezza :Regola lopital.

Per funzione Cosa è stato richiesto di controllare. È in crescita indefinitamente, ma non esiste una tale diretta a cui si avvierebbe il suo programma .

infinitamente vicino

Vai alla parte pratica della lezione:

Come trovare la grafica grafica di Asymptotes?

Esempio 1.

È così che viene formulato il compito tipico e implica la ricerca di tutti gli asintoti di grafica (verticale, inclinato / orizzontale). Anche se, se è più accurato nella formulazione del problema - stiamo parlando dello studio per la presenza di asintoti (perché questi potrebbero non essere affatto). Iniziamo con qualcosa di semplice:

Decisione Trova le funzioni grafiche di Asymptotes

Conveniente da dividere in due punti: 1) Prima controlla se ci sono asintoti verticali. Il denominatore disegna a zero E è immediatamente chiaro che a questo punto la funzione tollera Infinita rottura e dritto, dato dall'equazione è il asintype verticale della grafica funzione

. Ma prima di emettere tale conclusione, è necessario trovare limiti unidirezionali: Ricordo la tecnica del calcolo, su cui mi sono fermato nell'articolo Funzione di continuità. Punti di spruzzatura . Nell'espressione sotto il segno del limite invece di "Iksa" sostituiamo .

. Nel numeratore, niente di interessante: Ma nel denominatore si scopre : Numero negativo infinitamente piccolo

, Determina il destino del limite. Il limite di lato sinistro è infinito, e, in linea di principio, è già possibile sopportare il verdetto sulla presenza di asintoti verticali. Ma i limiti unilaterali sono necessari non solo per questo - aiutano a capire COME Situato un grafico di una funzione e costruirlo CORRETTAMENTE

. Pertanto, calcoliamo necessariamente il limite del lato destro: Produzione : I limiti unidirezionali sono infiniti, significa dire diritti .

è un asintotipo verticale di una grafica funzione quando

2) Controllare la presenza di asintoti inclini: Primo limite finito Quindi è necessario "continuare la conversazione" e trovare il secondo limite: Primo limite .

Anche il secondo limite

. Pertanto, calcoliamo necessariamente il limite del lato destro: Quindi, i nostri asintoti: : Equazione diretta specificata dall'equazione .

è un asintotipo orizzontale di una grafica funzione quando Per trovare asintoti orizzontali :

Puoi usare una formula semplificata Se esistono finito Formule Trovare Asintoti inclinatilimite limite e programma di arctangenti .

è la funzione grafica di Asymptota orizzontale  È facile notare che la funzione del numeratore e del denominatore Un ordine di crescita

Risposta :

Quindi, il limite desiderato sarà la finale: Sotto la condizione non è necessario fare il disegno, ma se in pieno svolgimento Funzione di ricerca Formula semplificata per trovare Asintoti orizzontali, quindi su Chernovik fai immediatamente schizzi: In base ai tre limiti trovati , prova a stimare te stesso come fare un programma funzione . È completamente difficile? Trova 5-6-7-8 punti e segnali nel disegno. Tuttavia, il programma di questa funzione è costruito utilizzando Trasformazioni grafiche della funzione elementare

ESEMPIO 2.

È così che viene formulato il compito tipico e implica la ricerca di tutti gli asintoti di grafica (verticale, inclinato / orizzontale). Anche se, se è più accurato nella formulazione del problema - stiamo parlando dello studio per la presenza di asintoti (perché questi potrebbero non essere affatto). Iniziamo con qualcosa di semplice:

, e i lettori che consideravano attentamente un esempio 21 di questo articolo indovinerà facilmente quale tipo di curva.

Questo è un esempio per una soluzione indipendente. Il processo, ricordo, è conveniente dividere in due punti - asintoti verticali e asintoti inclinati. Nella soluzione di esempio, l'Asymtota orizzontale è stato trovato in uno schema semplificato.

ESEMPIO 3.

È così che viene formulato il compito tipico e implica la ricerca di tutti gli asintoti di grafica (verticale, inclinato / orizzontale). Anche se, se è più accurato nella formulazione del problema - stiamo parlando dello studio per la presenza di asintoti (perché questi potrebbero non essere affatto). Iniziamo con qualcosa di semplice:

Decisione In pratica, le funzioni razionali frazionate sono più spesso trovate, e dopo la formazione sugli iperbole complica il compito:

: Una volta, due e pronti: 1) si trovano asimptoti verticali Ai punti della rottura infinita Pertanto, è necessario controllare se il denominatore si trasforma in zero. Decisivo :equazione quadrata

Il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici valide e il lavoro è notevolmente aggiunto =) :Per trovare ulteriormente i limiti unilaterali, il Trotter quadrato è conveniente per decomporre sui moltiplicatori.

(Per un record compatto "meno", ha contribuito alla prima parentesi). Per la sospensione, eseguiamo un controllo, mentalmente sulle staffe di apertura della bozza.

Riscrivi la funzione nel modulo :

Trova limiti unidirezionali al punto :

E al punto Quindi, dritto

sono asimptoti verticali della grafica della funzione in esame. 2) Se guardi la funzione , è abbastanza ovvio che il limite

Sarà finito e abbiamo un asymtota orizzontale. Lasciaci mostrarlo in un modo breve: Quindi, dritto

Risposta :

(L'ASCISSA AXIS) è l'Asintotipo orizzontale del grafico di questa funzione.

Trovati limiti e asintoti forniscono molte informazioni sulla funzione di programmazione. Prova a immaginare mentalmente il disegno tenendo conto dei seguenti fatti:

Descrivono schematicamente la tua versione del grafico sulla bozza. Naturalmente, i limiti hanno trovato inequivocabilmente determinano il tipo di grafica, e forse si consentono un errore, ma l'esercizio stesso avrà assistenza inestimabile durante Funzione completa della funzione

ESEMPIO 4.

È così che viene formulato il compito tipico e implica la ricerca di tutti gli asintoti di grafica (verticale, inclinato / orizzontale). Anche se, se è più accurato nella formulazione del problema - stiamo parlando dello studio per la presenza di asintoti (perché questi potrebbero non essere affatto). Iniziamo con qualcosa di semplice:

. L'immagine giusta è alla fine della lezione.

È così che viene formulato il compito tipico e implica la ricerca di tutti gli asintoti di grafica (verticale, inclinato / orizzontale). Anche se, se è più accurato nella formulazione del problema - stiamo parlando dello studio per la presenza di asintoti (perché questi potrebbero non essere affatto). Iniziamo con qualcosa di semplice: ESEMPIO 5. Questi sono compiti per una soluzione indipendente. Entrambe le grafiche hanno ancora un asintotes orizzontali, che vengono rilevate immediatamente dalle seguenti caratteristiche: nell'esempio 4 Ordine di altezza denominatore Di più rispetto all'ordine della crescita del numeratore e nell'esempio 5 numerorator e denominatore Un ordine di crescita .

. Nel campione della soluzione, la prima funzione è stata esaminata per la presenza di asintoti inclinati per intero, e il secondo attraverso il limite

Asintoti orizzontali, nella mia impressione soggettiva, sono evidenti più spesso di quelli che sono "veramente inclini". Caso generale atteso:

È così che viene formulato il compito tipico e implica la ricerca di tutti gli asintoti di grafica (verticale, inclinato / orizzontale). Anche se, se è più accurato nella formulazione del problema - stiamo parlando dello studio per la presenza di asintoti (perché questi potrebbero non essere affatto). Iniziamo con qualcosa di semplice:

Decisione ESEMPIO 6.

: Classics of the Genre: 1) Poiché il denominatore è positivo, quindi la funzione Continuo

è un asintotipo verticale di una grafica funzione quando Su tutto il numero numerico, e non ci sono asintoti verticali. …È buono? Non la parola - grande! La clausola numero 1 è chiusa. Primo limite Primo limite , quindi andiamo oltre. Nel corso del calcolo del secondo limite per eliminare Incertezza "infinito meno infinito"

Diamo un'espressione al Denominatore generale: Primo limite Anche il secondo limite

. Pertanto, calcoliamo necessariamente il limite del lato destro: :

Pertanto, nel grafico della funzione in esame c'è un asymptottee inclinato: Quindi, quando.  È in crescita indefinitamente, ma non esiste una tale diretta a cui si avvierebbe il suo programma Funzione di programmazione :Asymtota verticale e orizzontale

avvicinarsi a diretto

Si noti che attraversa il suo asintotom inclinato all'inizio delle coordinate, e tali punti di intersezione sono abbastanza accettabili - è importante che "tutto andava bene" all'infinito (in realtà, stiamo parlando degli asintoti e esce là).

È così che viene formulato il compito tipico e implica la ricerca di tutti gli asintoti di grafica (verticale, inclinato / orizzontale). Anche se, se è più accurato nella formulazione del problema - stiamo parlando dello studio per la presenza di asintoti (perché questi potrebbero non essere affatto). Iniziamo con qualcosa di semplice:

Decisione Esempio 7.

: Non c'è nulla da commentare, quindi emetterò una soluzione esemplare campione: .1) Asintoti verticali. Esplora il punto Dritto e programma di arctangenti .

è verticale asymtota per il programma

2) Asintoti inclinati: Dritto e programma di arctangenti .

Risposta :

è obliquo asymtota per il programma

Trovato limiti unilaterali e asimptoti con elevata affidabilità consente di assumere come appare il grafico di questa funzione. Disegno corretto alla fine della lezione.

È così che viene formulato il compito tipico e implica la ricerca di tutti gli asintoti di grafica (verticale, inclinato / orizzontale). Anche se, se è più accurato nella formulazione del problema - stiamo parlando dello studio per la presenza di asintoti (perché questi potrebbero non essere affatto). Iniziamo con qualcosa di semplice:

ESEMPIO 8.

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, per la comodità di calcolare alcuni limiti è possibile dividere il numeratore al denominatore. E ancora, analizzando i risultati ottenuti, prova a disegnare il programma di questa funzione. Ovviamente, i proprietari dei "veri" inclinati inclinati sono grafici di quelle funzioni razionali frazionarie che hanno un maggiore grado di numeratore per unità maggiore ).

Senior grado di denominatore. Se più - asymptoti inclinati non cambieranno più (per esempio,

Ma altre meraviglie si verificano nella vita:

Esempio 9.

Decisione Esplora il grafico della funzione per la presenza di Asintot 1) Poiché il denominatore è positivo, quindi la funzione : Funzione

Su tutta la rete numerica, significa che i asintoti verticali sono assenti. Ma potrebbe essere inclinato. Dai un'occhiata:

Ricordo di come anche l'Università ha affrontato una funzione simile e semplicemente non poteva credere che abbia avuto un asymtota incline. Finché non ha calcolato il secondo limite:  и Parlando rigorosamente, ecco due incertezze: Ma comunque, è necessario utilizzare un metodo soluzione smontato negli esempi 5-6 articoli sui limiti di maggiore complessità :

Risposta :

. Moltiplicare e dividere su un'espressione coniugata per sfruttare la formula

Forse il più popolare inclinato asymtota. Fino ad ora, l'infinito è riuscita a "tagliare un pettine", ma succede che la funzione del programma Due diversi. Asintoti inclinati :

e per

Esempio 9.

Decisione Esempio 10. : Espressione forzata positivamente, significa che dominio

- Qualsiasi numero davvero e bastoncini verticali non può essere.

Controlla se ci sono asymtoti inclinati. Se "x" cerca di "meno infinito", quindi:

(Quando si fa "Ika" sotto la radice quadrata, devi aggiungere un segno "meno" per non perdere la negatività del denominatore)

Sarà finito e abbiamo un asymtota orizzontale. Lasciaci mostrarlo in un modo breve: Sembra insolito, ma qui l'incertezza "infinito meno infinito". Moltiplichiamo il numeratore e il denominatore sull'espressione coniugata: .

è l'inclinata asymtota del grafico quando

Con "Plus infinità", tutto è banale: E dritto .

Risposta : - Ply. ;- Ply. .

, se un Grafica asymptota inclinata unificata, con "X" che cerca infinito a "Plus" e "meno"Non resistere all'immagine grafica: Questo è uno dei rami. .

Iperbole Non raro quando la presenza potenziale di Asintot è inizialmente limitata :

Area di definizione della funzione

Esempio 9.

Decisione Esempio 11. : È ovvio che

, Pertanto, consideriamo solo il giusto mezzo aereo, dove c'è un programma di funzione. 1) Poiché il denominatore è positivo, quindi la funzione 1) Funzione All'intervallo  Quindi, se esiste l'asymtota verticale, allora può essere solo l'asse dell'ordinata. Esplora il comportamento della funzione vicino al punto :

sulla destra Nota, Non c'è incertezza qui (In tali casi, l'attenzione è stata focalizzata all'inizio dell'articolo. .

Sarà finito e abbiamo un asymtota orizzontale. Lasciaci mostrarlo in un modo breve: Metodi per la risoluzione dei limiti) e programma di arctangenti .

(Ordinate Axis) è un asymtota verticale per il programma della funzione 2) La ricerca su Asymtotio inclinata può essere effettuata in pieno regime, ma nell'articolo Regole lopital. Abbiamo scoperto che la funzione lineare di un ordine di crescita più elevato rispetto alla logaritmica, quindi:

(Vedi esempio 1 della stessa lezione). .

Risposta : - Ply. ;- Ply. .

Conclusione: l'asse Ascissa è un asintotipo orizzontale del grafico della funzione quando Due diversi asimptoti inclinati di grafica

Disegno per chiarezza: È interessante notare che sembra una funzione simile

Asymptotes non sono affatto (i desideri possono controllarlo).

Due esempi finali per Study Study:

Esempio 9.

Esempio 12. Per verificare la presenza di asintoti verticali, devi prima trovarlo Area di definizione della funzione

E quindi calcolare un paio di limiti unilaterali in punti "sospetti". Inoltre non sono esclusi gli asymtoti inclinati, poiché la funzione è definita sull infinito "Plus" e "meno".

Esempio 9.

Esempio 13.  , E qui ci possono essere solo asintoti obliqui, e le indicazioni

Dovrebbe essere considerato separatamente.

Spero che tu trovi i necessari Asymptotes =)

Ti auguro successo!

Soluzioni e risposte: Decisione : Esempio 2: 1) Asintoti verticali. La funzione tollera il gap senza fine al punto 2) Asintoti inclinati: : I limiti unidirezionali sono infiniti, significa dire diritti .. Trova limiti unidirezionali: 2) Asintoti inclinati: 2) Asintoti inclinati. .Risposta :

(ASCISSA AXIS) è l'Asintotipo orizzontale della grafica funzione quando Disegno Funzione grafica Asymptota verticale e orizzontale LOGARITHM "X" diviso per "X"

Ad esempio 3: Decisione : Esempio 2: ESEMPIO 4: Nota . Calcoliamo i limiti unilaterali: .2) Asintoti inclinati: : Un numero negativo infinitamente piccolo è ugualmente un numero positivo infinitamente piccolo: È un asintotipo verticale di una grafica funzione. 2) Asintoti inclinati: 2) Asintoti inclinati. .Risposta :

2) Asintoti inclinati. Decisione : Esempio 5: 1) Esplora la funzione per la presenza di asintoti verticali. Trova punti in cui il denominatore si rivolge a zero: Non ci sono radici valide. . Trova limiti unidirezionali: 2) Asintoti inclinati: : Equazione diretta specificata dall'equazione .Risposta :

(ASCISSA AXIS) è l'Asintotipo orizzontale della grafica funzione quando La funzione di funzionamento è continua sull'intera linea numerica, significa che i asintoti verticali sono assenti. Blog di Emelia Alexander

Ad esempio 7: ESEMPIO 8: : Decisione .,Nota 1) Asintoti verticali. Esplora il punto ..2) Asintoti inclinati: : Un numero negativo infinitamente piccolo a un grado dispari è un numero negativo infinitamente piccolo: (asse - Ply. .) è un asymtota verticale per il programma 2) Asintoti inclinati: Dritto e programma di arctangenti .Risposta : 2) Asintoti inclinati: Успехов в дальнейшем изучении математического анализа!

Grafico di questa funzione: Decisione Esempio 12: Per verificare la presenza di asintoti verticali, devi prima trovarlo : .: Trova Oltre al metodo analitico per trovare un campo di definizione, è possibile utilizzare .Metodo di intervallo 1) Controllare la presenza di asintoti verticali. Per comodità e chiarezza dei calcoli, definiremo l'argomento del logaritmo sui moltiplicatori: E al punto Calcoliamo i limiti unilaterali:   и sono asintoti verticali per la funzione grafica quando . Trova limiti unidirezionali: rispettivamente. Non ci sono asintoti inclini. Per divulgare l'uso dell'incertezza :Due volte d'uso Il primo limite è finito, troviamo il secondo limite: Risposta : - Ply. ;- Ply. .

Quindi, gli asintoti inclini sono assenti. Decisione Esempio 13: : Poiché la funzione è continua , quindi gli asintoti verticali sono assenti. Scopriamo se ci sono asymtoti inclini al programma: Quindi per Sarà finito e abbiamo un asymtota orizzontale. Lasciaci mostrarlo in un modo breve: Il grafico non ha asintoti inclini. .Risposta è l'asintotipo orizzontale del grafico di questa funzione quando .

: L'ascissa asse quando

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Pubblicato da: Emelin Alexander

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